第1319题：构造概率模型解题

本题用构造概率模型的方式证明不等式，补充证明过程中的“?”.

[题目]

 若 $0<a,b,c,d<1$ , 证明: $(1-a)(1-b)$$(1-c)(1-d)$ $>1-a-b$ $-c-d$ .

[证明]

设 $A,B,C,D$ 是相互独立的四个事件，且令

$P(A)=a$

$P(B)=b$

$P(C)=c$

$P(D)=d$

所以有

$P(\overline{A})=1-a$

$P(\overline{B})=1-b$

$P(\overline{C})=1-c$

$P(\overline{D})=1-d$

由于

$P(A+B+C+D)=$ $1-P(\overline{A})P(\overline{B})P(\overline{C})P(\overline{D})$

$P(A)P(B)P(C)P(D)$ $=abcd$ $>$ $?$ ，

所以$A,B,C,D$ 不是互斥事件.

所以有：

$P(A+B+C+D)$ $<P(A)+P(B)$ $+P(C)+P(D)$

于是

$1-P(\overline{A})P(\overline{B})P(\overline{C})P(\overline{D})$ $<P(A)+P(B)$ $+P(C)+P(D)$

即得到

$(1-a)(1-b)$$(1-c)(1-d)>$$1-a-b$ $-c-d$ .

摘自李冬胜《高中数学构造式解题思维技巧》.