第1915题：椭圆的渐屈线

[定义]

当动点在曲线上运动时，动点所在位置的曲率中心（曲率圆的圆心）形成的轨迹称为渐屈线. 如下图，椭圆的渐屈线类似星星，也称为星形线.

渐屈线计算公式

$\begin{cases} \alpha=x-\dfrac{y'(1+y'^2)}{y''}, \\ \beta=y+\dfrac{1+y'^2}{y''} \end{cases}$ .

[题目]

用椭圆的参数方程

$\begin{cases} x=a \cos \theta, \\ y=b \sin \theta \end{cases}$

计算椭圆的渐屈线参数方程.

[解]

$\dfrac{dx}{d \theta}=-a \sin \theta$ ， $\dfrac{dy}{d \theta}=b \cos \theta$

所以 

$y'=\dfrac{dy}{dx}$ $=\dfrac{dy / d \theta}{dx / d \theta}$ $=-\dfrac{b}{a} \cot \theta$

$y''=\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ $=\dfrac{\dfrac{d \Big ( \dfrac{dy}{dx} \Big ) }{d \theta}}{\dfrac{dx}{d \theta}}$

$=\dfrac{\dfrac{b}{a} (- \csc^2 \theta )}{a \sin \theta}$

$=-\dfrac{b}{a^2 \sin^3 \theta}$

于是有

 $y'=-\dfrac{b \cos \theta}{a \sin \theta}$

$y''=-\dfrac{b}{a^2 \sin^3 \theta}$

代入渐屈线计算公式得到

$\begin{cases} \alpha=a \cos \theta -\dfrac{-\dfrac{b \cos \theta}{a \sin \theta}(1+ (-\dfrac{b \cos \theta}{a \sin \theta})^2)}{-\dfrac{b}{a^2 \sin^3 \theta} }, \\ \\ \beta=b \sin \theta +\dfrac{1+(-\dfrac{b \cos \theta}{a \sin \theta})^2}{-\dfrac{b}{a^2 \sin^3 \theta}} \end{cases}$

$= \begin{cases} \alpha=\_\_\_, \\ \beta=\_\_\_ \end{cases}$

（以下选项中，$c^2=a^2-b^2$ ）

A. $\dfrac{c^2}{a} \cos^3 \theta, -\dfrac{c^2}{b} \sin^3 \theta$  

B. $-\dfrac{c^2}{a} \cos^3 \theta, \dfrac{c^2}{b} \sin^3 \theta$

C. $\dfrac{c^2}{b} \cos^3 \theta, -\dfrac{c^2}{a} \sin^3 \theta$

D. $-\dfrac{c^2}{b} \cos^3 \theta, \dfrac{c^2}{a} \sin^3 \theta$