第1869题：黄金分割数

我们知道如果一个函数的导数等于它自己，即 $f'(x)=f(x)$ ，那么容易想到 $f(x)=\mathrm(e)^x$ 是一个解.

我们可以找一个函数的导数等于它的反函数吗？即 $f'(x)=f^{-1}(x)$ .

令 $f(x)=ax^b$ ，可得到

$f'(x)=abx^{b-1}$

$f^{-1}(x)=\Big ( \dfrac{x}{a} \Big )^{\frac{1}{b}}$

据此，我们可以得到以下哪个函数符合 $f'(x)=f^{-1}(x)$ ？

A. $f(x)=bx^{\sqrt[b]{b}}$ ，$b=\dfrac{1 \pm \sqrt{5} }{2}$

B. $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt[b]{b}}x^b$ ， $b=\dfrac{1 + \sqrt{5} }{2}$

C. $f(x)=\Big ( \dfrac{1}{b} \Big )^{b} x^b$ ，$b=\dfrac{1 \pm \sqrt{5} }{2}$

D. $f(x)=\sqrt[b]{b}x^b$ ，$b=\dfrac{1 + \sqrt{5} }{2}$

本题有提示.

感谢 函数的连续膜 的订证.