第1230题：导数与切线

已知函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处有切线，则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，对吗？

A.对

B.错

函数的连续膜：

在更深入的数学中，其实切线的本质是局部线性逼近，而这正是可微的性质，其中可微定义中的线性主部就是切线那部分。一般的曲线定义是这样的：如果是欧式空间 $R^n$ ，那么定义曲线 $γ(t)=(f_1(t),....,f_n(t))$ 的切向量是 $γ'(t)=(f_1'(t),....,f_n'(t))$ ，当然，这必须要求 $γ(t)$ 是可微的。因此，只要 $|γ'(t)| \ne 0$ ，我们就能够借助切向量良好定义它在一点处的切线。我们一般称 $|γ'(t)| \ne 0$ 处处成立的曲线 $γ(t)$ 为正则曲线。

即切线是用导数定义的，如果导数不存在则不存在切线。例如 $y=\sqrt{x}$ 在端点 $x=0$ 处的切线为 $y$ 轴，此时其导数为 $+\infty$ ，认为其可导；再如 $y=x^3$ 在 $y=0$ 处的切线为 $x$ 轴，而 $x$ 轴实则穿过了曲线，但却可能看做是从两边向中间可微，认为其可导。在高中阶段，可能会认为这两种情况不是切线，但在后期数学中定义的切线，不排除在端点相切和穿过曲线的情况。