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第288题:狼是怎么追上兔子的


用本题理解代数,代数方程是推导出的通用的一般性的结果,针对不同的情况代入数据即到得特定情况下的解。


见下图,一只兔子正在吃草,一只狼距离它100米。兔子知道大难临头,立即逃跑。狼也同时追赶过去,已知兔子的速度是狼的一半,问兔子至少要在多少米以内的地方有一个兔子洞才能避免被狼捕到。



兔子沿yy 方向跑,也就是沿OC方向跑,狼怎么跑?狼不知道兔子洞在哪里,所以它不是预先跑到兔子洞口等它。实际情况是狼追兔子时,是两眼死盯着兔子,根据兔子逃跑的路线来决定自己的追赶路线。所以狼所跑的路线不是连接AC两点的直线,而是曲线ABC。当兔子在E点时,狼在B点,从B点作曲线ABC的切线,正对着兔子所在的E点,OE=AB2OE=\dfrac{AB}{2} 。可以推导出曲线ABC的方程如下:


y=x1+c2ac(1+c)acx1c2(1c)+ac1c2y=\dfrac{x^{1+c}}{2{a^c}(1+c)}-\dfrac{{a^c}{x^{1-c}}}{2(1-c)}+\dfrac{ac}{1-c^2}


此方程是一个通用方程,根据本题,狼要跑到 y轴上,也就是其中的xx为0时才能追上兔子,于是上述公式中:


x=0x=0

a=100a=100

c=12c=\dfrac{1}{2}

xxaacc 代入方程,解得的yy 即是狼追上兔子时兔子所跑的距离OC,所以兔子洞距离兔子的起点O的距离必须小于OC才不致于被捕到。请代入xxaacc,用计算器计算幂。 计算出OC的距离。



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