第2411题：高斯积分1

在前题，约2301题左右，微分方程-非初等积分题目下，提到过高期积分的不定积分形式：

$\int \mathrm{e}^{-x^2} dx$

是非初等积分，不能用初等函数表示，应该称为误差函数的积分形式。

实际上高斯积分指的是函数 $\mathrm{e}^{-x^2}$ 的定积分形式：

$\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} dx$

它是有解的，这个积分在概率论、统计学、物理学和工程学中都有广泛应用，它有两个名称：

高斯积分：得名于高斯在研究正态分布时的重要应用。

欧拉-泊松积分：源于欧拉和泊松各自独立算出了$\int_0^{\infty} \mathrm(e)^{-x^2}$ 的积分结果 $\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ 。

已知：

$\displaystyle{\int_0^\infty} \mathrm{e}^{-x^2} dx =\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$

则对于任意正实数 a>0，积分

$\displaystyle{\int_0^\infty} \mathrm{e}^{-ax^2} dx =?$

A. $\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}$

B. $\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{2a}}$

C. $\dfrac{\sqrt{\pi}}{2a}$

D. $\dfrac{\sqrt{\pi}}{a}$

注：误差函数（Error function）

$erf(x)=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x \mathrm(e)^{-t^2}dx$

所以

$\int \mathrm{e}^{-x^2} dx=$ $\dfrac{\sqrt{\pi}}{2} erf(x)+C$