第1866题：零点定理

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[题目]

用零点定理证明方程 $x^5+x-1=0$ 只有一个根.

[证]

取函数 $f=x^5+x-1$ ，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且

$f(0)=-1<0$

$f(1)=1>0$

由零点定理知至少存在点 $x_1 \in (0,1)$ ，使 $f(x_1)=0$ ，即原方程至少有一个正根.

若方程还有一个正根 $x_2$ ，不妨设 $x_2>x_1$ ，则由 $f(x)=x^5+x-1$ 在 $[x_1,x_2]$ 上连续，在 $(x_1,x_2)$ 上可导，知 $f(x)$ 满足罗尔定理，所以至少存在点$\xi \in (x_1,x_2)$ ，使得_______，但 $f'(\xi)=5\xi^4+1>0$ ，矛盾. 得证.

A. $f(\xi)=0$

B. $f'(\xi)=0$

C. $f'(\xi)>0$

D. $f(\xi)(x_2-x_1)=0$

零点定理：如果函数 $y= f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有$f(a) \cdot f(b)<0$ ,那么，函数 $y= f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内有零点，即至少存在一个 $c \in (a,b)$ ,使得 $f(c)=0$ ,这个 $c$ 也就是方程的根.