第1407题：利用构造椭圆的方法解题

填空，此题解题过程中的 $b$ 等于多少？.

[问题]　解方程$\sqrt{x^2+6x+12}$ $+\sqrt{x^2-6x+12}$ $=10$

[分析]　一般这种含有两个根式的方程，可以先找出另一个对应的方程来，如

$\sqrt{x^2+6x+12}$ $-\sqrt{x^2-6x+12} =A$

用分子有理化方法得到 $A$ ，然后两式相加抵消掉其中一个根式，只有一个根式就可以两边平方来解.

但这个过程有些繁琐. 下面用另一种方法来解.

[解]　用配方法对原式进行变形，得到

$\sqrt{(x+3)^2+3}$ $+\sqrt{(x-3)^2+3}$ $=10$

上面每一个根式都看起来像是两点间的距离公式，干脆写的再像一些，令 $y^2=3$ ，再配一下得到

$\sqrt{(x+3)^2+(y-0)^2}$ $+\sqrt{(x-3)^2+(y-0)^2}$ $=10$

即点 $(x,y)$ 到点 $(-3,0)$ 和 $(3,0)$ 的距离之和为 $10$ ，其轨迹是一个左焦点为 $(-3,0)$ ，右焦点为 $(3,0)$ ，长轴长为$10$ 的椭圆，于是得到此椭圆的方程：

$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{b}=1$

然后将$y^2=3$ 代入得到 $x=\pm \dfrac{5}{4} \sqrt{13}$ .