第2216题：趣味矩阵

设

$A_2= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

$A_3= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$

$\cdots$

$A_n= \begin{bmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ n+1 & n+2 & \cdots & 2n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ n(n-1)+1 & n(n-1)+2 & \cdots & n^2 \end{bmatrix}$

可以验证 $A_n$ 的轶为 $2$ ，即只有两个非零特征值 ，这两个特征值为（  ）.

A. $\dfrac{1}{2} \Big ( \dfrac{n^2+1}{2} \pm \sqrt{\dfrac{n^2}{2} + \dfrac{n^3-n}{3} + \dfrac{n^4+1}{4} } \Big )$

B.$\dfrac{n^2}{2} \Big ( \dfrac{n^2+1}{2} \pm \sqrt{\dfrac{n^2}{2} + \dfrac{n^3-n}{3} + \dfrac{n^4+n}{4} } \Big )$

C. $\dfrac{n}{2} \Big ( \dfrac{n^2+1}{2} \pm \sqrt{\dfrac{n^2}{2} + \dfrac{n^3-n}{3} + \dfrac{n^4+1}{4} } \Big )$

D. $\dfrac{n^2}{2} \Big ( \dfrac{n^2+n}{2} \pm \sqrt{\dfrac{n^2}{2} + \dfrac{n^3}{3} + \dfrac{n^4}{4} } \Big )$