第1444题：最值

通过本题我们来理解一下“实数域中两个真命题之间的最短路程就是通过复数域”.

我们知道以下复数三角形不等式：

$||z_1|-|z_2||$ $\leqslant |z_1+z_2|$ $\leqslant |z_1|+|z_2|$

其中，右边等号成立的充要条件是 $z_1$ 与 $z_2$ 对应的向量平行且同向，即 $z_2=kz_1(k>0)$ ；左边等号成立的充要条件是 $z_1$ 与 $z_2$ 对应的向量平行而反向，即$z_2=kz_1(k<0)$ . 这是求有关复数模的最值的重要方法.

[例]

已知 $a \in \bold R$ ，求证：$|\sqrt{a^2+a+1}$ $-\sqrt{a^2-a+1}|<1$

[分析]

已知复数 $z=a+b\mathrm{i}$ 的模为 $\sqrt{a^2+b^2}$ ，题中两处根式可以看做是两个复数的模，可以用配方法得到.

[证]

原式左边

$=\Big | \sqrt{\Big ( a+\dfrac{1}{2} \Big )^2 + \dfrac{3}{4}}$ $-\sqrt{\Big ( a-\dfrac{1}{2} \Big )^2 + \dfrac{3}{4}} \Big |$

=$\Big | \Big | a+\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i} \Big |$ $-\Big | a-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i} \Big | \Big |$

$<\Big | a+\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$ $-\Big ( a-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i} \Big ) \Big |$

$=1$

得证.

请根据此例，计算函数

$f(x)=\sqrt{x^2+4}$ $+\sqrt{x^2+8x+17}$

的最小值是多少？