第1470题：旋转矩阵

如图，点 $P$ 与坐标原点的距离是 $r$ ，与 $x$ 轴正向的夹角为 $\theta$ ，将点 $P$ 逆时针旋转 $\alpha$ 角度得到 $P'$ 点，由此我们可以得到两个方程

$\begin{cases} x=r \cos \theta , \\ y=r \sin \theta \end{cases}$

$\begin{cases} x'=r \cos (\theta +\alpha) , \\ y'=r \sin (\theta +\alpha) \end{cases}$

由两角和的三角函数公式

$\sin(\alpha \pm \beta)=$ $\sin \alpha \cos \beta \pm$ $\cos \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha \pm\beta)=$$\cos \alpha \cos \beta \mp$ $\sin \alpha \sin \beta$

得

$\begin{cases} x'=x\cos \alpha-y \sin \alpha, \\ y'=x\sin \alpha+y\cos \alpha \end{cases}$

于是我们得到平面中点绕原点旋转矩阵

$\begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$

根据此矩阵计算，如果将平面中的点 $(1,\sqrt{3})$ 逆时针旋转 $\dfrac{\pi}{6}$ ，得到点的坐标是(  ).

A.$(2,\dfrac{\sqrt{3}}{2})$

B.$(\dfrac{1}{2},2)$

C.$(\dfrac{\sqrt{3}}{2},2)$

D.$(0,2)$

此旋转变换公式在计算机图形学中应用非常广，建议保存以备查询.