第944题：证明题

补充以下证明过程中的 ?1

【题目】证明：$1 \underbrace{0 \cdots 0}_{\text{2018个0}} 1$ 能被 1001 整除.

【思路】欲证 $b | a$ ，即 $a$ 是 $b$ 的整倍数，$b$ 是 $a$ 的约数，基本方法是将 $a$ 分解成 $b$ 和一个整数的乘积. 常用的有以下两个分解式：

(1)  $x^n - y^n =$ $(x-y)$ $(x^{n-1}+x^{n-2} y + \cdots$ $+ x y^{n-2} + y^{n-1})$

(2)  $x^n + y^n =$ $(x+y)$$(x^{n-1}-x^{n-2} y + \cdots$ $- x y^{n-2} + y^{n-1})$

记忆方法：将(1)中的 $y$ 用 $-y$ 代换得到(2)式. 其中 $n$ 是正整数.

【证明】利用上面分解式(2)，分解出一个约数1001出来

$1 \underbrace{0 \cdots 0}_{\text{2018个0}} 1$

$=10^{2019} +1$

$=(10^3)^{673} +1$

$=(10^3 +1)$$[(10^3)^{?1} -(10^3)^{671}+ \cdots$ $+ 10^3 -1]$

得证.

感谢 小柒 的指正, 本题公式(2)只对n为奇数时有效, n为偶数时不能用, 原题2018是2022, 得到  $(10^3)^{674} +1$ , 不能用公式(2) 分解.