第358题：观察规律并计算

探索 $n \times n$ 的正方形钉子板 上（$n$ 是板每边上的钉子数），连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：当 $n=2$ 时，钉子板上所连不 同线段的长度只有1与$\sqrt{2}$ ，所以不同长度值的线段只有2种；当 $n=3$ 时钉子板上所连不同线段长度值只有1、$\sqrt{2}$ 、2、$\sqrt{5}$ 、$2\sqrt{2}$ 一共5种；当 $n=4$ 时一共有9种；当 $n=5$ 时一共有14种. 那么，当 $n=22$ 时钉子板上有多少种不同线段长度值？