第941题：证明题

补充以下证明过程中的 "?".

【题目】观察 $y =\sin x^2$ 的图像，如下图. 证明：函数 $y =\sin x^2$ 不是周期函数.

【思路】常常用反证法来证明某个函数不是周期函数.

【证明】假设 $y =\sin x^2$ 是周期函数，$T$ 是它的一个正周期，对于每一个 $x \in \bold R$ 有:

$\sin(x+T)^2$ $=\sin x^2$             (1)

令 $x =$ $?$ ，得 $\sin T^2= 0$ .

所以 $T^2 = k \pi$ ，$T=\sqrt{k\pi}$ ，$x \in \bold {N^*}$ ，代入 (1) 式得

$\sin(x+\sqrt{k\pi})^2$$=sin x^2$           (2)

在(2)中令 

$x=\sqrt{2}T$ ，则$x=\sqrt{2k\pi}$ ，得

$\sin(\sqrt{2}T +T)$ $= \sin(\sqrt{2}T)^2$

即

$\sin[(\sqrt{2}+1)^2 k\pi]$ $=\sin 2k\pi$ $=0$

所以有

$(\sqrt{2}+1)^2 k\pi$ $=l \pi$ $(l \in N)$

$(\sqrt{2}+1)^2$ $=\dfrac{l}{k}$

由于

$(\sqrt{2}+1)^2$ $=2+2\sqrt{2}$ 是无理数，而 $\dfrac{l}{k}$ 是有理数，矛盾，因此假设不成立，得证.