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第1393题:圆锥曲线切点弦的方程



再继续观察,过圆锥曲线外一点 (x0,y0)(x_0,y_0) 向圆锥曲线引两条切线,切点分别为A,BA,B ,直线 ABAB 的方程:


椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 上弦 ABAB 的方程为 x0xa2+y0yb2=1\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1 


双曲线 x2a2y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 上弦 ABAB 方程为 x0xa2y0yb2=1\dfrac{x_0x}{a^2}-\dfrac{y_0y}{b^2}=1 


抛物线 y2=2pxy^2=2px 上弦 ABAB方程为 y0y=2p(x0+x2)y_0y=2p(\dfrac{x_0+x}{2})


抛物线 x2=2pyx^2=2py 上弦 ABAB方程为 x0x=2p(y0+y2)x_0x=2p(\dfrac{y_0+y}{2})


x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 上弦 ABAB方程为 x0x+y0y=r2x_0x+y_0y=r^2



于是,柯西又得到一个结论,即过圆锥曲线外一点做的曲线两条切线,两切点间弦的方程可以这样得到:


1)把原方程中的 x2x^2 替换成 x0xx_0x ,原方程中的 y2y^2 替换成 y0yy_0y ;


2)把原方程中的 xx 替换成 x0+x2\dfrac{x_0+x}{2} ,原方程中的 yy 替换成 y0+y2\dfrac{y_0+y}{2} ;


3)得到的新方程即两切点间连线的方程.


柯西的结论对吗?




如上图,圆的方程为 x2+y2=16x^2+y^2=16 ,过圆外一点 AA 做圆的两条切线,可以快速得到切点弦 AGAG 的方程 x+y=4x+y=4 .


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