第1547题：对称多项式的置换群

对于多项式 $x+y$ ,$x^2+xy+y^2$ , $xyz$ ，将其中的 $x$ 换成 $y$ ，$y$ 换成 $x$ ，得到的新多项目与原来的相同，类似这样的多项式具有对称性并称其为对称多项式，这种替换可以看作一是种置换.

用带有脚标的 $x_1,x_2$ 来代替 $x,y$ ，交换 $x$ 和 $y$ 可以看作是交换脚标，用脚标来分析多项式的置换，则仅含有两个变量 $x_1,x_2$ 的对称多项式有以下两种置换：

$r_1=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ \downarrow & \downarrow \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

$r_2=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ \downarrow & \downarrow \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

其中 $r_1$ 是恒等置换，仅含有两个变量 $x_1,x_2$ 的对称多项式的全部变换记为 $S_2$ ，$S_2=$ { $r_1,r_2$ }

设$x_1,x_2,x_3$ 是一元三次方程 

$x^3-c_1x^2+c_2x-c_3=0$

的根，仿照韦达定理，有下列关系

$c_1=$ $x_1+x_2+x_3$

$c_2=$ $x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3$

$c_3=$ $x_1x_2x_3$

以上等或右边是含有三个变量 $x_1,x_2,x_3$ 的对称多项式，它们的全部变换的集合记为 $S_3$ ，则 $S_3$ 中共有多少种变换？