第1456题：利用 i 的旋转作用

汤姆和杰克要离开村子去上大学了，离开前他们将自己最喜欢的物品埋在了一片戈壁上，戈壁上有两棵大树 $A$ 和 $B$ ，汤姆另立了一个木桩 $C$ . 以 $A$ 为旋转中心将$\overrightarrow{AC}$ 按逆时针旋转 $90\degree$ 到达$\overrightarrow{AD}$ ；又以B为旋转中心将 $\overrightarrow{BC}$ 按顺时针旋转 $90\degree$ 到达 $\overrightarrow{BE}$ ，$DE$ 的中点 $M$ 即是埋藏点.

多年以后，他们再回到戈壁，两棵大树还在，但木桩却遍寻无着. 他们根据埋藏方法设计了如下算法来寻找 $M$ 点，请问以下算法中的 $k$ 是多少？

如图，以 $AB$ 的中点 $O$ 为原点，$AB$ 所在直线为 $x$ 轴，建立直角坐标系，设 $AB$ 之间的距离为 $2a$ ，再设 $C$ 点对应的复数为 $z_c$ ，那么

$\overrightarrow{AC}=z_c-a$

$\overrightarrow{BC}=z_c+a$

$\overrightarrow{AD}=(z_c-a)\mathrm{i}$

$\overrightarrow{BE}=(z_c+a)(-\mathrm{i})$

$DE$ 的中点 $M$ 对应的复数应为

$k$$[(z_c-a)\mathrm{i}+$$(z_c +a )(- \mathrm{i})]$ $=-a \mathrm{i}$

所以 $M$ 点在原点 $O$ 的下方，其的坐标是 $(0,-a)$ ，所以即使找不到 $C$ 点的位置，埋藏点仍可以找到.