第289题：估算π

历史上有许多巧妙利用概率、物理或几何来估算圆周率 $\pi$ 的著名实验，如布丰投针试验、 蒙特卡罗方法等。它们的设计思想是：设计一个与 $\pi$ 存在确定概率关联的随机过程，通过大量重复实验，用频率逼近概率，从而反推出 $\pi$ 的近似值。

布丰投针试验稍复杂一些，我们在学到三角函数时再出，这里介绍蒙特卡罗方法。

背景：

在曼哈顿计划期间，科学家斯坦尼斯拉夫·乌拉姆和约翰·冯·诺依曼为了模拟中子扩散，发展出了系统的随机抽样计算方法。他们用赌城蒙特卡罗为此命名，部分灵感就来源于布丰投针这种通过随机实验求解确定性问题的方式。蒙特卡罗方法的一个著名例子是用这思想开发的围棋对弈软件，但由于计算量过大，棋力一直不够好，直到深度学习彻底改变围棋程序。

方法：

在计算机中模拟一个边长为 $2$ 的正方形，在其内部内切的半径为 $1$ 的圆。

在正方形内均匀随机地生成大量点 $(x, y)$ ，其中 $x$ 和 $y$ 都是在 $[0, 2]$ 区间内的随机数，即：

$0 \leqslant x \leqslant 2$ ,

$0 \leqslant y \leqslant 2$ ,

判断每个点是否落在圆内

计算落在圆内点数和总点数之比

原理：

正方形面积 $= 2 \times 2=4$

圆面积 $= π \times 1^2 = π$

点落在圆内概率约等于圆的面积，

点落在正方形内的概率约等于正方形的面积。

若总共投掷 $N$ 次，有 $K$ 次落在圆内，则得到 $π$ 的近似计算公式为（）

A. $\pi \approx \dfrac{K}{N}$

B. $\pi \approx \dfrac{4K}{N}$

C. $\pi \approx \dfrac{N}{K}$

D. $\pi \approx \dfrac{4N}{K}$

下面写了一个小程序用于展示模拟过程，体验用频率逼近概率这一原理。

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