第1290题：构造导数解题

本题不用洛必塔法则而是用构造导数的方法来求2007年湖北高考理科卷第5题的极限，请判断以下ABCD四步骤中哪一步写错了。

[题目]

求以下极限

$\lim\limits_{ n \rightarrow \infty}$ $\dfrac{ \Big ( 1+\dfrac{1}{n} \Big )^p -1}{ \Big ( 1+\dfrac{1}{n} \Big )^q -1 }$ ,

其中 $p$ 、$q$ 是两个不相等的正整数，且 $q \geqslant 2$ .

[解]

设 $x=\dfrac{1}{n}$ 、$f(x)=(1+x)^p$ 、$g(x)=(1+x)^q$ ，则

原式$=\lim\limits_{ x \rightarrow 0} \dfrac{f(x)-1}{g(x)-1}$ (A)

$=\lim\limits_{ x \rightarrow 0}$ $\dfrac{\dfrac{f(x)-1}{x}}{\dfrac{g(x)-1}{x}}$ (B)

$=\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ (C)

$=\dfrac{p}{q}$ (D)