第1535题：从对称变换引出群

上一题中，我们知道平面上的正三角形有6个对称变换，本题来研究这些变换的一些性质.

画出正三角形ABC的三条对称轴 $r_1,r_2,r_3$ 和中心O，观察它的对称变换，正三角形在以下平面刚体运动的作用下保持不变.

(1)恒等变换，即不做任何操作，记作 $I$ ;

(2)关于对称轴 $r_1$ 所在直线的反射，记作 $r_1$ ;

(3)关于对称轴 $r_2$ 所在直线的反射，记作 $r_2$ ;

(4)关于对称轴 $r_3$ 所在直线的反射，记作 $r_3$ ;

(5)以点O为中心作 $120\degree$ 旋转，记作 $\rho_1$ ;

(6)以点O为中心作 $240\degree$ 旋转，记作 $\rho_2$ .

除此之外，再找不出其它的对称变换，所以平面上正三角形的6个对称变换的集合是

$D_3=$ { $I,r_1,r_2,$$r_3,\rho_1,\rho_2$ }

观察两个对称变换的合成，即先做一个对称变换，再作另一个对称变换，每次变换时注意记录每个变换中三角形三个顶点的关系，例如我们先做 $r_2$ 再做 $\rho_1$ ，并将这一复合操作记为 $\rho_1 \cdot r_2$ ，观察两次变换后三角形三个顶点的位置，我们得到：

$\rho_1 \cdot r_2=r_3$

即这两个变换的结果相当于集合 $D_3$ 中的某一个变换. 再做其它的复合变换，如

$r_2 \cdot r_2 \cdot r_3$

$= r_2 \cdot \rho_1$

$= r_3$

得到 一个结论，即这些运算的合成对于集合 $D_3$ 封闭（不会得到这6个变换之外的第7个变换）.

进一步，上面的运算满足交换律吗？

如 $\rho_1 \cdot r_1$ 是否等于 $r_1 \cdot \rho_1$ ？

我们熟悉的数字的乘法按从左到右的顺序进行，而变换的合成习惯上按从右到左的顺序进行 .

我们把正三角形的对称变换集合 $D_3$ 连同它的运算 "$\cdot$ " 称作正三角形的对称群，可记作$(D(3), \cdot)$ .