第1036题：递推数列求通项公式方法之二

补充以下解题过程中的空缺, $e,f$

题型

如果遇到 $a_n =qa_{n-1}+f(n)$ （ $q \ne 1$ ）型题目要求{ $a_n$ }的通项公式，一般可以构造 $b_n=a_n +g(n)$ ，使得数列 { $b_n$ }是以 $q$ 为公比的等比数列. 而 $g(n)$ 可通过待定系数法求得.

一般地，若 $f(n)$ 是一次式，则 $g(n)$ 是一次式；若 $f(n)$ 是二次式，则 $g(n)$ 是二次式；若$f(n)$ 是指数式，则$g(n)$ 是指数式.

例题

数列{ $a_n$ } 满足 $a_1=4$ ，$a_n=2a_{n-1}$ $+2n-7$ ，($n \geqslant 2$ ，$n \in \bold N^*$ ) . 求 { $a_n$ }的通项公式.

解

符合 $a_n =qa_{n-1}+f(n)$ 型，我们推导出一个此类型的、$q=2$ 的递推公式（即一个以$2$ 为公比的等比数列），设有数列

$a_n +kn +b$

则有

(1)   $a_n +kn +b=$$2 [a_{n-1} +k(n-1) +b]$

计算得到

$a_n=2a_{n-1}$ $+kn+b-2k$

此式与题中所给等式对比，得到

$k=$ $e$

$b=$ $f$

代入(1)式得到等比数列

$a_n +$ $e$$n$ $+$ $f$ =$2[a_{n-1} +$ $e$ $(n-1)$ $+$ $f$ ]  

又由 $a_1=4$ ，得到

$a_1+kn+b$ $=3$

所以，

$a_n+2n-3$ 是以 $3$ 为首项，$2$ 为公比的等比数列，即

$a_n+2n-3$ $=3 \times 2^{n-1}$

于是得到

$a_n=$$3 \times 2^{n-1} -2n +3$