第1555题：利用欧拉公式求解

[问题]

若 $a,b,c,x$$,y,z \in \bold{R}$ ，满足

$\cos(x+y+z)=$ $a \cos{x} +b \cos{y} +c \cos{z}$ ，

$\sin(x+y+z)=$ $a \sin{x} +b \sin{y} +c \sin{z}$ . 求

$a\cos(y+z)+b\cos(x+z)$ $+c\cos(x+y)$ 及

$a\sin(y+z)+b\sin(x+z)$ $+c\sin(x+y)$ 的值.

[解]

利用欧拉公式，有

$\mathrm{e}^{ix}=\cos x + i \sin x$

$\mathrm{e}^{iy}=\cos y + i \sin y$

$\mathrm{e}^{iz}=\cos z + i \sin z$

$\mathrm{e}^{i(x+y+z)}=$ $\cos (x+y+z) + i \sin (x+y+z)$

由已知条件可得

$a\mathrm{e}^{ix}+b\mathrm{e}^{iy}+c\mathrm{e}^{iz}$

=$(a \cos x+ b\cos y+c \cos z)$ $+i(a \sin x +b \sin y +c \sin z)$

=$\cos(x+y+z)$ $+i\sin(x+y+z)$

=$\mathrm{e}^{i(x+y+z)}$

上式两边同乘以 $\mathrm{e}^{-i(x+y+z)}$ 得

$a\mathrm{e}^{-i(y+z)}+b\mathrm{e}^{-i(x+z)}$$+c\mathrm{e}^{-i(x+y)}=1$

令$a\mathrm{e}^{-i(y+z)}+b\mathrm{e}^{-i(x+z)}$ $+c\mathrm{e}^{-i(x+y)}$ $=Z$

则有 $a\cos(y+z)+b\cos(x+z)$ $+c\cos(x+y)=$ $Re Z$ $=1$

$a\sin(y+z)+b\sin(x+z)$ $+c\sin(x+y)=$ $- Im Z$  

那么，$Im Z$ 等于多少？