第1895题：单调性与凹凸性

如图，两个同是上升的曲线，在有的曲线弧上，如果任取两点，联结这两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方（如 $\overgroup{ADB}$ ），而有的曲线弧则正好相反（如 $\overgroup{ACB}$ ）. 曲线的这种性质就是曲线的凹凸性. 

设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，如果对I上任意两点 $x_1,x_2$ ，恒有

$f \Big ( \dfrac{x_1+x_2}{2} \Big )$$<$ $\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$

那么称 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是向上凹的（或凹弧），反之如果恒有

$f \Big ( \dfrac{x_1+x_2}{2} \Big )$ $>$ $\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$

那么称 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是向上凸的（或凸弧）.

函数在某一区间上的增减性和凹凸性可以用函数的一、二阶导数来判断，以下正确的是(  )

A.  $f'(x)>0$ 时函数是增函数，$f''(x)>0$ 时函数图形是凹的

B. $f''(x)>0$ 时函数是增函数，$f''(x)>0$ 时函数图形是凸的

C. $f'(x)<0$ 时函数是减函数，$f''(x)<0$ 时函数图形是凹的

D. $f''(x)<0$ 时函数是减函数，$f''(x)<0$ 时函数图形是凸的

注

本题及之后的几道关于曲线的凸凹性的定义遵循本题中的定义.

不同的书上对曲线的凸凹性定义不同. 例如本题中的定义同济大学版《高等数学》中的定义

北京大学出版社方企勤版《数学分析1》中的定义与以上定义正好相反.