第1391题：圆锥曲线的切线方程

通过观察过圆锥曲线上一点 $(x_0,y_0)$ 的切线：

椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上的切线方程为

$\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1$

双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上的切线方程为

$\dfrac{x_0x}{a^2}-\dfrac{y_0y}{b^2}=1$  

抛物线 $y^2=2px$ 上的切线方程为

$y_0y=2p(\dfrac{x_0+x}{2})$

抛物线 $x^2=2py$ 上的切线方程为

$x_0x=2p(\dfrac{y_0+y}{2})$

圆 $x^2+y^2=r^2$ 上的切线方程为

$x_0x+y_0y=r^2$

柯西得到一个结论，即过圆锥曲线上一点的切线方程可以这样得到：

1）把原方程中的 $x^2$ 替换成 $x_0x$ ，原方程中的 $y^2$ 替换成 $y_0y$ ;

2）把原方程中的 $x$ 替换成 $\dfrac{x_0+x}{2}$ ，原方程中的 $y$ 替换成 $\dfrac{y_0+y}{2}$ ;

3）得到的新方程即切线方程.

柯西的结论对吗？

本问题针对圆锥曲线的标准方程，不考虑非标准方程，如 $(x+a)^2+(y+b)^2=r^2$ 的情形. 那么，这个非标准圆的切线方程有没有简单方法呢？见下题.