第1844题：近似值

用微分法估算 $\cos(29.5\degree)$ 的近似值，以下两种算法中哪个更精确一些？

方法一

由 $f(x) \approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ ，有

$\cos x \approx$ $cos x_0 - \sin x_0 \cdot (x -x_0)$

可令 $x_0=30\degree=\dfrac{\pi}{6}$

得

$\cos 29.5\degree$

$=\cos \Big ( \dfrac{\pi}{6} -\dfrac{\pi}{360} \Big )$

$\approx \cos \dfrac{\pi}{6}- \sin \dfrac{\pi}{6} \cdot ( -0.5 \degree)$

$=\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{360}$

$= \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\pi}{720}$

$\approx 0.866+0.004$

$=0.870$

方法二

由 $\cos ^2 x =1 -\sin ^2 x$ 及 $\sin x \approx x$ 得

$\cos 29.5 \degree =\sqrt{1- \sin ^2 29.5 \degree}$

$\approx \sqrt{1 - \Big ( \dfrac{29.5 \pi }{180} \Big )^2}$

$\approx \sqrt{1-0.5149^2}$

$\approx 0.857$