第1051题：等差数列前n项和公式与函数的关系

从等差数列 {$a_n$} 的前 $n$ 项和公式出发，作以下推导

$S_n=na_1 +$$\dfrac{n(n-1)d}{2}$

$=\dfrac{d}{2}n^2 +$ $\Big ( a_1 -\dfrac{d}{2} \Big ) n$ ，

令$A=\dfrac{d}{2}$ ， $B= a_1 -\dfrac{d}{2}$

则有 $S_n =An^2 +Bn$ . 由此得到四个结论：

A. 一个数列 {$a_n$} 是等差数列的条件是其前 $n$ 项和公式 $S_n=f(n)$ 是关于 $n$ 的二次函数或一次函数，且$S_n=An^2 +Bn$ ($A,B$ 为常数).

B. 若一个数列 {$a_n$}  的前 $n$ 项和的表达式为 $S_n =An^2 +Bn+C$ ($A,B,C$ 为常数)，则当 $C \ne 0$ 时，数列 {$a_n$} 不是等差数列，但从第 $2$ 项起为等差数列.

C. 对于公差为 $d$ 、前 $n$ 项和为 $S_n$ 的等差数列 {$a_n$}，当 $d \ne 0$ 时，点 $(n,S_n)$ 是抛物线 $y=Ax^2+Bx$ ($A \ne 0$ ) 上的一群孤立的点.

D. 由二次函数图象可知，对于公差为 $d$ 、前 $n$ 项和为 $S_n$$=An^2+Bn$ 的等差数列 {$a_n$}，当 $d >0$ 时，数列 {$a_n$} 是递增数列，$S_n$ 有最小值；反之当 $d<0$ 时，数列 {$a_n$} 是递减数列，$S_n$ 有最大值.

其中正确的是(  ).

对于D选项，什么情况下其 $S_n$ 的极值是 $-\dfrac{B^2}{4A}$ ？什么情况下不是呢？

另：常函数是零次函数，不是一次函数.