第943题：定义域关于原点对称的函数

补充下列证明中的“?1、?2”

【题目】证明：任何定义域关于原点对称的函数，都可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和.

【思路】既然给出了结果要求证明，那么结果一定是正确的，可根据结果来设. 设 $f(x) =$$f_1(x)+f_2(x)$ ，其中$f_1(x)$ 是偶函数，$f_2(x)$ 是奇函数，那么有

$f(x)=$ $f_1(x)+f_2(x)$

$f(-x)=$ $f_1(x)-f_2(x)$

解以上方程组，得到

$f_1(x)=$ $\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}$

$f_2(x)=$ $\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}$

【证明】

设定义域关于原点对称的函数为$f(x)$ ，则$f(x)$ 与$f(-x)$ 同时有意义，因为

$f(x)=$ $\dfrac{f(x)+f(-x)}{?1}$ +$\dfrac{f(x)-f(-x)}{?2}$

令

$\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}$ $=f_1(x)$

$\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}$ $=f_2(x)$

则只需要证明 $f_1(x)$ 是偶函数，$f_2(x)$ 是奇函数即可.

将$-x$ 代入证明即可，过程略.