第1040题：两次换元求通项公式

补充以下解题过程中的$p,q$ .

题目：

已知 $a_1=1$ , $a_{n+1}=\dfrac{1}{16}$ $(1+ 4a_n$ $+ \sqrt{1+24a_n})$ ，求$a_n$ .

分析：

遇到带根号的题目，考虑以下三种方法：

首选将根号整体换元，且要换彻底。如果第一方法换不彻底，即换元后还会出现根号，选第二个方法，通过开平方去根号。方法三是三角代换。

解：

用第一种方法整体换元

令$b_n=\sqrt{1+24a_n}$

则

$a_n=\dfrac{b^2 _n -1}{24}$

代入原式得到

$2b_{n+1}=b_n+3$

即

$2(b_{n+1} -3)=b_n -3$

再次代换

令$c_n=b_n -3$

得

$c_{n+1}=\dfrac{1}{2} c_n$

$c_n=\dfrac{c_1}{2^{n-1}}$

求出$b_1$ 、$c_1$ 后可得到

$a_n=$ $\dfrac{\Big( 3+\dfrac{1}{2^{n-q}} \Big)^2 -1}{p}$