第1614题：一个难题

我们知道，任意一个大于 $1$ 的正整数 $n$ 都可以表示为若干个素数的乘积，即存在素数 $p_1,p_2,p_3,\cdots,p_k$ ，使得

$n=p_1 p_2 \cdots p_k$ ( $k \in \bold {N^*}$ )

此称为算术基本定理. 假设素数的数量是有限个，设它们的全体分别是 $p_1,p_2, \cdots p_k$ . 

考察数 $m=p_1 p_2 \cdots p_k+1$ . 取 $m$ 的素因子 $q$ ，由前面所设必有 $q \in$ { $p_1,p_2,\cdots,p_k$ }，这说明 $q \mid$ $(m-p_1 p_2 \cdots p_k)$ , 即要求 $q \mid 1$ ，矛盾，所以素数有无限多个.

这里用到的表达式引出了数论中的一个难题：

设 $p_1,p_2,p_3,\cdots$ 是素数从小到大的排列，令

$Q_n=p_1p_2p_3 \cdots p_n +1$ ，

通过计算可知，当 $1 \leqslant n \leqslant 5$ 时， $Q_n$ 为素数；当 $6 \leqslant n \leqslant 10$ 时，$Q_n$ 都是合数. 至今人们还不知道数列{ $Q_n$ }中是否有无穷多个素数，也不知道其中是否有无穷多个合数.

请问，$Q_{12}$ 是素数还是合数？

A. 素数

B. 合数