第2412题：高斯积分2

关于高斯积分

$\displaystyle{\int_{-\infty}^{+\infty}} \mathrm{e}^{-x^2} dx =\sqrt{\pi}$

的历史与意义，下列说法中，错误的一项是：

A. 该积分在概率论中用于正态分布的归一化常数（即 $\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}$ 中的系数来源）。

B. 最早由高斯本人使用二重积分和极坐标变换精确计算并发表。

C. 该积分值与伽玛函数 $\Gamma$$(\dfrac{1}{2})$ 相等（因为 $\Gamma(z)=\int_0^{\infty} t^{z-1} \mathrm{e}^{-t} dt$ ，令 $t=x^2$ 得到）。

D. 该积分在物理学中频繁出现，例如热传导方程的基本解中就包含形如 $\mathrm{e}^{-x^2/(4kt)}$ 的因子。

参考王竹溪《特殊函数概论》等。

注：正态分布的概率密度函数为

$\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)}{2\sigma^2}}$

其中：

$\mu$ 是均值（位置参数），决定了分布的中心；

$\sigma>0$ 是标准误差，决定了分布的离散程度；

$\sigma^2$ 称为方差。

当 $\mu=0$ 且 $\sigma=1$ 时，称为标准正态分布。