论数学中与「解析」有关的名词
论数学中与「解析」有关的名词
数学长征，月明中
「解析」一词，字面含义为「拆解分析」，数学上的相关概念之所以被称为「解析」大概正是因为通过解析方法研究的对象，可以经过拆解分析而十分清晰地跃然于我们眼前. 数学中时常出现的「解析」，究其最早的出处，在于「解析几何」.
解析几何的起源与发展
1637年，法国数学、哲学家笛卡尔(Descartes)在著作《方法论》的附录「几何」中提出了解析几何的基本方法，以哲学观点写成的这部法语著作为后来牛顿(Newton)和莱布尼茨(Leibnitz)各自提出微积分学提供了基础.
笛卡尔
在中学课本中，解析几何被简单解释为：采用数值的方法定义几何形状，并从中提取数值的信息. 然而，这种数值输出可能是一个方程或者是一个几何形状. 这就是为何它被称为解析几何：将几何形状拆解成抽象的数值来进行分析.
古希腊数学家梅内克缪斯(Menaechmus)的解题、证明方式与现在使用坐标系十分相似，以至于有时会认为他是解析几何的鼻祖. 阿波罗尼奥斯(Apollonius)在《论切触》中解题方式在现在被称之为单维解析几何；他使用直线来求得一点与其它点之间的比例. 又在《圆锥曲线论》中进一步发展了这种方式，这种方式与解析几何十分相似，比起笛卡尔早了1800多年. 他使用了参照线、直径、切线与现进所使用坐标系没有本质区别，即从切点沿直径所量的距离为横坐标，而与切线平行、并与数轴和曲线向交的线段为纵坐标. 他进一步发展了横坐标与纵坐标之间的关系，即两者等同于夸张的曲线.
然而，虽然阿波罗尼奥斯的工作接近于解析几何，但他没能完成它，因为他没有将负数纳入系统当中. 在此，方程是由曲线来确定的，而曲线不是由方程得出的. 坐标、变量、方程不过是一些给定几何题的脚注罢了.
十一世纪波斯帝国数学家欧玛尔·海亚姆(Omar Khayyam)发现了几何与代数之间的密切联系，在求三次方程使用了代数和几何，取得了巨大进步. 但最关键的一步由笛卡尔完成.
费马(Fermat)为解析几何的发展做出了贡献. 他的《平面与立体轨迹引论》虽然没有在生前发表，但手稿于1637年在巴黎出现，正好早于笛卡尔《方法论》一点.《引论》文字清晰，获得好评，为解析几何提供了铺垫. 费马与笛卡尔方法的不同在于出发点. 费马从代数公式开始，然后描述它的几何曲线，而笛卡尔从几何曲线开始，以方程的完结告终. 结果，笛卡尔的方法可以处理更复杂的方程，并发展到使用高次多项式来解决问题.
费马
在解析几何当中，平面给出了坐标系，即每个点都有对应的一对实数坐标. 最常见的是笛卡尔坐标系，其中，每个点都有x-坐标对应水平位置和y-坐标对应垂直位置，这常写为有序对(x,y). 这种系统也可以被用在三维几何当中，空间中的每个点都以多元组(x,y,z)呈现.
坐标系也以其它形式出现. 在平面中最常见的另类坐标系是极坐标系，其中每个点都以从原点出发的半径 r和角度θ表示. 在三维空间中，最常见的另类坐标系统是圆柱坐标系和球坐标系.
在解析几何当中，任何方程都包含确定面的子集，即方程的解集. 例如，方程 在平面上对应的是所有 坐标等于 坐标的解集. 这些点汇集成为一条直线， 被称为这道方程的直线. 总而言之，线性方程中 和 定义线，一元二次方程定义圆锥曲线，更复杂的方程则阐述更复杂的形象.
通常，一个简单的方程对应平面上的一条曲线.但这不一定如此：方程 对应整个平面，方程 只对应(0,0)一点.在三维空间中，一个方程通常对应一个曲面，而曲线常常代表两个曲面的交集，或一条参数方程. 方程 代表了是半径为 且圆心在(0,0)上的所有圆.
解析与解析函数论
对代数几何学者来说，解析几何也指（实或者复）流形，其中流形是局部具有欧几里得空间性质的空间，可以看作是欧氏空间中曲线、曲面等概念的推广. 或者更广义地通过一些复变数（或实变数）的解析函数为零而定义的解析空间理论，解析空间是一类局部上由解析函数定义的局部赋环空间，可理解为解析版本的概形，其中概形便是代数几何研究的基本对象. 这一理论非常接近代数几何，特别是通过让-皮埃尔·塞尔(Jean-Pierre Serre)在《代数几何和解析几何》领域的工作. 这是一个比代数几何更大的领域，不过也可以使用类似的方法.
让-皮埃尔·塞尔
到这里解释一下「解析式」的概念.我们所说的「表达式」通常泛指一切某公理系统下的数学公式，每个公式可以用一定规则下被称为哥德尔数的方式唯一地表示（这是关于元数学的内容，本文不再赘述）. 而「方程」或「方程式」指含有未知数的等式.而形如y=f( , , ... , )的方程，被称为通常为解析函数的常见函数y的解析式.
若一个解析式中只含加、减、乘、除、乘方与开方运算，则称这样的解析式为代数式. 单独一个数或字母也称为代数式，不含变数字母开方的代数式称为有理式. 其中除式不含变数字母的有理式称为整式或多项式. 整式中只含乘法运算称为单项式，除式内含有变数字母的有理式称为分式. 含有变数字母开方运算的代数式称为无理式.只含有对变数字母的指数运算、对数运算、三角运算和反三角运算的解析式分别称为指数式、对数式、三角式和反三角式. 含有以上超越运算的解析式，统称为超越式.
复变函数论是研究以复数为变量的函数的分析学理论. 解析函数是复变函数论中的中心研究对象，因此复变函数论又被称为「解析函数论」. 在十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西(Cauchy)、德国数学家黎曼(Riemann)和维尔斯特拉斯(Weierstrass)的巨大努力，已经形成了非常系统的理论.
解析函数是局部上由收敛幂级数给出的函数. 解析函数可分成实解析函数与复解析函数，两者有类似之处，同时也有重要的差异.两种类型的解析函数都是无穷可导的，但复解析函数表现出一些一般实解析函数不成立的性质. 此外在超度量域上也可以定义解析函数，这套想法在当代数论与算术代数几何中有重要应用. 一个函数是解析函数当且仅当这个函数在它定义域内的每个点的邻域内的泰勒级数都收敛.
典型的解析函数有：包括多项式函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的全部初等函数都是解析函数；包括伽马函数、贝塞尔函数、超几何函数的多数特殊函数至少在复平面上的某区域上解析. 而典型的非解析函数有：绝对值函数非解析函数，因为它在点0处不可微. 分段定义的函数在分段处通常不是解析的；复共轭函数非复解析函数，尽管它在实数轴上（即恒等函数）是实解析函数.但如果把它看作从 到 的映射，则是在全平面不解析的.
现代数学中的解析
在现代几何中，解析簇定义为几个解析函数的共同解集，类似于实数与复数的代数簇. 代数簇，亦作代数多样体，是代数几何学上多项式集合的公共零点解的集合. 任何复流形都是一种解析簇. 解析簇可能有奇点，但不是所有解析簇都是复数.
解析解是指方程严格地利用多为解析函数的常见函数表达的解. 即包含分式、三角函数、指数、对数甚至无限级数等基本函数的解的形式. 给出解的具体函数形式，从解的表达式中就可以算出任何对应值. 用来求得解析解的方法称为解析法，解析法是常见的微积分技巧，如分离变量法等.解析解为一封闭形式的函数，因此对任一独立变量，皆可将其代入解析函数求得正确的相依变量. 因此，解析解也称为闭式解. 当解析解不存在时，比如五次以及更高次的代数方程，则该方程只能用数值分析的方法求解近似值.
另外，在复变函数论中有「解析延拓」的概念. 这是指将解析函数从较小定义域拓展到更大定义域的方法. 通过此方法，一些原先发散的级数在新的定义域可具有迥异而有限的值. 其中最知名的例子为，可以看成阶乘解析延拓的Γ函数与可以看成正整数乘方倒数之和解析延拓的黎曼ζ函数. 关于黎曼ζ函数的黎曼猜想正是目前最知名、最重要的猜想之一.
黎曼
数学中，李群是具有群结构的光滑微分流形，群表示一个拥有满足封闭性、结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构.粗略地说，李群是连续的群，也即其元素可由几个实参数描述.李群的名字源于挪威数学家索菲斯·李(Sophus Lie)的姓氏，以其为连续变换群奠定基础.
「连通」是拓扑学中的基本概念，如果一个拓扑空间不能表示为两个不相交的非空开集的并集，那么就称它是连通的.若一个李群作为解析流形是连通的，则称其为解析群，亦称连通李群.
部分书籍在定义李群时假设了解析性，另一种方式则是定义李群为实光滑流形，并具有光滑的群二元运算与逆元运算. 解析条件看似较强，实则两者等价.
「解析」是数学中的重要概念，通过解析方法进行研究深刻体现了数学的抽象性和逻辑严密性. 利用解析方法亦可以解决一些以前无法解决的问题，比如解析数论，为数论中的分支. 它使用由数学分析中发展出的方法作为工具，来解决数论中的问题. 被称为数学皇冠上明珠的哥德巴赫猜想，其目前最好的成果就是由陈景润用解析数论的方法实现的.
陈景润
解析函数具有相当良好的性质，对与「解析」相关的对象进行研究，迸发出了一系列令人眼花缭乱的结果，读来使人心旷神怡——数学之和谐美，尽显于此.
