生成勾股数的4种方法

上周和儿子去德克士吃饭，回来时我说起总要想一些勾股数来出题，算起来不是很方便。他说他上课时自己想过两个算法，我很有兴趣，将他的算法（前两个）记录如下.

方法1

任取一个大于 $1$ 的奇数 $a$ ，取 $h=\dfrac{a^2}{2}$

由于 $a^2$ 也是奇数，则 $h$ 一定是个小数且其小数部分是 $0.5$

取 $c=h+0.5$ 、$b=h-0.5$

则有 $c^2=a^2+b^2$

即任取一个奇数时可以得到这样一组勾股数，其中必包含两个连续的整数.

例：

取奇数 $a=9$

得到 $h=\dfrac{81}{2}=40.5$

$b=40.5-0.5=40$

$c=40.5+0.5=41$

$41^2=40^2+9^2$

方法2

任取一个大于 $2$ 的偶数 $a$ ，取 $h=\dfrac{a^2}{4}$

由于 $a^2$ 也是偶数，则 $h$ 一定是一个整数

取 $c=h+1$ 、$b=h-1$

则有 $c^2=a^2+b^2$

即任取一个偶数时可以得到这样一组勾股数，其中必有两个数差为$2$ .

例：

取偶数 $a=12$

$h=\dfrac{144}{4}=36$

$b=36-1=35$

$c=36+1=37$

$37^2=35^2+12^2$

方法3

任取两个互质的整数 $m$ 、$n$ ，且 $m>n$

$a=m^2-n^2$

$b=2mn$

$c=m^2+n^2$

有 $a^2+b^2=c^2$

即任取两个互质的整数时可以得到这样一组勾股数，三个勾股数互质.

例：

取 $m=10$ , $n=7$

得到

$a=100-49=51$

$b=2 \times10 \times 7=140$

$c=100+49=149$

$149^2=140^2+51^2$

方法4

通过以上三种方法得到的勾股数均是互质的，给每一组勾股数分别乘大于 $1$ 的整数 $k$ 可以得到不互质的其它勾股数.

例如由 $12$ ，$35$ ，$37$ 可以得到

分别乘以 $2$ ：$24$ ，$70$ ，$74$

分别乘以 $3$ ：$36$ ，$105$ ，$111$ 等.