广义相对论中的微分几何引论2
广义相对论研究非平直的连续时空,微分几何则是描述它的数学结构,一般情况下,欧几里得空间不再适用,反之,用各种各样的流形,流形是局部的欧几里得空间:
举例说一个球面就是一个流形,因为观察小三角形,他的内角和等于 ,以及其它一些满足欧几里得空间的性质,然而大三角形则不同,这个三角形每个角都是 ,内角和是 ,于是不同于欧氏几何,球面是局部欧几里得空间,地球表面也是一个流形。
有些人会问,红色部分不是三角形,然而这时站在欧式空间上说的,在非平直的空间上,或者说一个拓扑空间,这些三角形看上去只是变形了而已。
可以看出,这三个三角形之间存在映射,使得前一个三角形的点对应后一个三角形的点。实际上,上图三个三角形在数学上称为同胚,同胚的意思是说:两个流形,把其中一个弯曲,延展,变形,剪切(剪开后必须最后需要沿着剪开的部分完美缝合)变成另一个,则认为二者同胚,换言之:你可以将上图任意一个三角形捏成另一个,所以有人说:拓扑学是橡皮膜上的几何学。与度量空间不一样的是不需要大小,距离概念。研究这些问题需要的是一个拓扑空间。读者或许会思考,什么样的问题竟然不需要定义距离,举个例子,在下图电路中,a,b同胚,这样一个电路,在设计时无需考虑电线之间的长度。
又比如拓扑学中经典的七桥问题:
哥尼斯堡的居民如何尝试均没有成功,而因为走法一共有5040种,在没有尝试所有方法之前,谁也不能说这桥走不通,欧拉将实际问题抽象成上图的图形,不但彻底解决此问题,还开创了图论的先河,这类问题抽象成几何图形时,根本无需考虑其中任一两点的距离,又有读者会问,如果问题变成从A点走到B点的最短路程,使之成为最短路径问题,是否又回到度量空间了,答案是不需要,因为任何一条路的距离数值可以被另外记录下来,或者称之“权”,给定道路一数值后称之为“加权”,读者若对七桥问题的证明感兴趣可以在数学长征中搜索【七桥问题】。
以本题为例:证明任一开区间 与 同胚。
尽管这是一个不证自明的习题,但是我们先来考虑下,开区间 是否存在一个映射, 将区间 的每个点映射到 上?通过上期内容不难想象到下图:
或者类似的映射。那么开区间 能否弯曲,延展,变形,剪切变成R呢,这很好操作,将 延展即可,通俗的说,用两只手捏住 , 两端,然后拉长,最后即可变成 , 是开集正好对应 集的 处。
下面给出同胚的定义:若 映射 ,满足: 是一一到上的; 及 都连续,我们称拓扑空间 和 互相同胚,将 称为同胚映射,简称同胚。
可以看出,这里的背景不再是欧式空间,我们从欧式空间或者度量空间切换到不考虑大小距离的拓扑空间,这需要为拓扑空间下定义。定义:非空集合 的一个拓扑 是 子集的集合,其中的元素称为开集,并且满足:
(a) ;
(b) 若 , ,则 ;
(c) 中任意有限或无限集合 , 有 .
看上去像集合的集合,我们举个例子: ,则
{ ,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}}
是它的一个拓扑。
{{1},{3},{1,2},{1,3}}
也是它的一个拓扑。元素最多的拓扑(全部子集的集合)又叫离散拓扑,元素最少的拓扑又叫做凝聚拓扑,还以上者为例,
{ ,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}}
为X的离散拓扑,
{ ,{1,2,3}}
为X的凝聚拓扑。
今天就先到这里,下一期预告:覆盖与图册