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广义相对论中的微分几何引论2



广义相对论研究非平直的连续时空,微分几何则是描述它的数学结构,一般情况下,欧几里得空间不再适用,反之,用各种各样的流形,流形是局部的欧几里得空间



举例说一个球面就是一个流形,因为观察小三角形,他的内角和等于 180°180\degree ,以及其它一些满足欧几里得空间的性质,然而大三角形则不同,这个三角形每个角都是 90°90\degree ,内角和是 270°270\degree ,于是不同于欧氏几何,球面是局部欧几里得空间,地球表面也是一个流形。



有些人会问,红色部分不是三角形,然而这时站在欧式空间上说的,在非平直的空间上,或者说一个拓扑空间,这些三角形看上去只是变形了而已。



可以看出,这三个三角形之间存在映射,使得前一个三角形的点对应后一个三角形的点。实际上,上图三个三角形在数学上称为同胚,同胚的意思是说:两个流形,把其中一个弯曲,延展,变形,剪切(剪开后必须最后需要沿着剪开的部分完美缝合)变成另一个,则认为二者同胚,换言之:你可以将上图任意一个三角形捏成另一个,所以有人说:拓扑学是橡皮膜上的几何学。与度量空间不一样的是不需要大小,距离概念。研究这些问题需要的是一个拓扑空间。读者或许会思考,什么样的问题竟然不需要定义距离,举个例子,在下图电路中,a,b同胚,这样一个电路,在设计时无需考虑电线之间的长度。



又比如拓扑学中经典的七桥问题:



哥尼斯堡的居民如何尝试均没有成功,而因为走法一共有5040种,在没有尝试所有方法之前,谁也不能说这桥走不通,欧拉将实际问题抽象成上图的图形,不但彻底解决此问题,还开创了图论的先河,这类问题抽象成几何图形时,根本无需考虑其中任一两点的距离,又有读者会问,如果问题变成从A点走到B点的最短路程,使之成为最短路径问题,是否又回到度量空间了,答案是不需要,因为任何一条路的距离数值可以被另外记录下来,或者称之“权”,给定道路一数值后称之为“加权”,读者若对七桥问题的证明感兴趣可以在数学长征中搜索【七桥问题】。


以本题为例:证明任一开区间 (a,b)R(a,b) \in RRR 同胚。


尽管这是一个不证自明的习题,但是我们先来考虑下,开区间 (a,b)(a,b) 是否存在一个映射, 将区间 (a,b)(a,b) 的每个点映射到 RR 上?通过上期内容不难想象到下图:



或者类似的映射。那么开区间 (a,b)(a,b) 能否弯曲,延展,变形,剪切变成R呢,这很好操作,将 (a,b)(a,b) 延展即可,通俗的说,用两只手捏住aabb 两端,然后拉长,最后即可变成 RR(a,b)(a,b) 是开集正好对应 RR 集的 \infty 处。


下面给出同胚的定义:若 \exists 映射 f:xyf: x \rightarrow y ,满足:(a)f(a)f  是一一到上的;(b)f(b)ff1f^{-1} 都连续,我们称拓扑空间 (x,T)(x, \mathscr {T}) (Y,S)(Y, \mathscr {S})  互相同胚,将 ff 称为同胚映射,简称同胚。


可以看出,这里的背景不再是欧式空间,我们从欧式空间或者度量空间切换到不考虑大小距离的拓扑空间,这需要为拓扑空间下定义。定义:非空集合 XX  的一个拓扑 T\mathscr {T}XX 子集的集合,其中的元素称为开集,并且满足:


(a) X,TX,\varnothing \in \mathscr {T} ;


(b) 若 OiTO_i \in \mathscr {T} , i=1,2,3,,n i=1,2,3, \cdots, n ,则 i=1nOiT\displaystyle\bigcap_{i=1}^n O_i \in \mathscr {T} ;


(c) T\mathscr {T} 中任意有限或无限集合 Oa O_a , 有 aOaT\displaystyle\bigcup_{a} O_a \in \mathscr {T}  .


看上去像集合的集合,我们举个例子: X=1,2,3X={1,2,3} ,则


T=\mathscr {T}= {\varnothing ,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}}


是它的一个拓扑。


T=\mathscr {T}= {{1},{3},{1,2},{1,3}}


也是它的一个拓扑。元素最多的拓扑(全部子集的集合)又叫离散拓扑,元素最少的拓扑又叫做凝聚拓扑,还以上者为例,


T=\mathscr {T}= { \varnothing ,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}}


为X的离散拓扑,


T=\mathscr {T}= { \varnothing ,{1,2,3}}


为X的凝聚拓扑。



今天就先到这里,下一期预告:覆盖与图册

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