数学三人行（二）
数学三人行(二)
注：本文为数学长征向青羽所约系列稿件之二，欢迎在文后留下你的意见。
基础数学和应用数学本是殊途同归的，他们在不同的领域内工作，并且相互协作，相互促进。但他们都是在数学这条大道上前行，他们有着共同的信仰，即是使数学能够得到发展，使数学理论能够得到实践。因此我们既需要仰望星空的基础数学家，也需要脚踏实地的应用数学家。
我亲爱的读者，在上一节中，我和我的朋友讨论了数学思想在某一行业当中的作用，而后我的老师又来点醒了我：至少在学校教育阶段，学习数学工具的真正目的，不是为了掌握工具本身，而是其背后的数学思想。由此可见，数学之于人应当更多的作为思想而非工具。
而后，我的老师突然问我“为什么不报数学专业？”这个问题当时使我内心一震。我想到了那个原因，但由此，这将引入一个新的问题，使得我们三人原先的讨论上升为激辩。现在我将以我最深刻的记忆，向大家复原这场激辩。
亭中辩续
“既然你这么喜欢数学，当时为什么不报数学专业？”我的老师问我，当我听完后，内心感到一震。我的朋友也看向我，在等待着我的答案，而我的眼神已从熠熠转向黯然。
“说来或许有些可笑，其实原因很简单——我们学校只有应用数学专业，没有基础数学专业！而我认为基础数学才是真正数学的殿堂。我喜欢数学，我更有追求真正数学的意愿，然而在我眼里，应用数学和物理学、化学等其他理科没什么两样，不过是基础数学结出的一颗果子。”我说着并回忆着当时的情景，诚然有许多原因共同作用使我做出这个决定，但这或许是最重要的原因。
“应用数学与基础数学何异？不都是数学大道上的两条分路吗？无论你从哪条路往前走，最后都会到达终点。”我的朋友表示不解，并严肃地说道“基础数学，或者叫纯粹数学，是专门研究数学本身内部规律的学科。应用数学则着重于应用数学工具去解决生活中的实际问题。你刚才这样说，是不是以为基础数学代表数学思想，而应用数学代表数学工具？”
“当然不是！虽然应用数学在解决问题的过程中，所用的数学工具是基础数学，但工具是【凝结】的思想，工具与思想始终一体，不可分离。因此不可以认为应用数学学科本身具有更多的工具性。正如之前的论述所说，无论什么学科，当你走得越深，你的数学思想就越深。正如像高斯、牛顿、笛卡尔、帕斯卡、庞加莱等这样伟大的数学家，你难以将他们判定为是基础数学家还是应用数学家，因为他们具有的数学思想是不分类别的，所以无论在何种领域，他们都能行云流水地使用数学工具。因此数学思想与数学工具不会因学科的不同而导致它们的权重不同，它们的权重主要取决于学习它们的人。我对基础数学和应用数学的看法不同，当然不是因为它们思想性和工具性的体现不同。
然而你也的确提到了很重要的一点，基础数学是应用数学所用的工具，这不正昭示了，基础数学才是真正数学的殿堂，而应用数学不过是殿堂外的一处园子。我时常想着这样的画面：基础数学家发现了一块美丽、纯净的宝石，它们费尽心思去弄清楚这块宝石内部的纹理，以及探究它的被发现之处是否连着一块更大的宝石。当基础数学家研究好一切后，将这块宝石小心翼翼地呈放在殿堂里，供其他数学家观赏这块宝石。当然，殿堂内的所有宝石都是开放的，它们具有那样完美的刚性，与那样不可动摇的根基，以至于它们不会因为所处时空的不同而呈现不同的面貌。
然而应用数学家不愿让这样完美的宝石被遗落在这座殿堂里，他们将它带了出来，镶嵌在权杖或是皇冠里，他们使得宝石璀璨的神辉像阳光一样普照着大地。应用数学家使得这些宝石对于社会来说，不再只是些好看的石头，而是具有像太阳一样不可或缺的意义。然而一般人不可能直接进入那座殿堂来观赏这些宝石的价值，倘若殿堂的门卫放他们进来了，他们必然毫无敬畏地对着这些宝石指手画脚，时而拿起来看看，待看到宝石内部复杂而精密的纹路后又将它放下。这些完美的宝石在他们眼中不具有那样直观的美感，而是只有复杂与混乱，甚至会使他们感到厌恶。然而人们可以参观这座殿堂外的园子，在园子里，应用数学家将这些宝石放置在恰当的位置，这样人们可以直观的体会到这些宝石的价值，于是就像参观博物馆一样，对这处园子充满敬畏。
于是我的比喻是那样的合理，基础数学是所有这些宝石的发现者，或者说基础数学家才是数学这一学科的缔造者。而应用数学家不过是发掘了这些宝石的价值并昭之于民，或者说应用数学家将数学应用于实践从而体现其价值。然而这并不否认，发现宝石者比之发掘宝石者更为伟大。”
我说完长出了一口气，似乎这些话语早已积郁于我心腹多年，现在一口气全说出来使我感到如释重负。然而我的朋友呼吸已经变得急促，眼神中也带有丝丝怒意，似乎是因为我刚才对他所读专业说出了不敬之言。我的老师也变得十分严肃，他直勾勾地看着我的眼睛，像是要读穿我最深层的思想。然而我并不惧怕这种感觉，我更期待我朋友会说什么。
“我相信以你对数学的理解，不会轻易被这种诡辩欺骗。或许你是自己创造了这段诡辩，从而自己欺骗了自己。”我的朋友尽管带着怒意，但他仍不失理智。令我惊讶的是，他并未陷入我刚才的满篇语句间，而是超脱出来，从外部直接审视我的心灵。他接着说：“你也懂数学史，自己应该能够分辨这些话的真伪。
在那远古时期，所有文明诞生之初，我们的先民从野蛮走向文明的过程中，逐渐认识到了“数”的概念。在那时，数学主要用来进行天文记历、测算山高谷深、计算粮食产量、栗米交换、丈量土地面积、制造建筑工具等等。数学起源于人们对身边事物本质的认知，应用于人们对身边事物的理解与改造。
由于这一性质，在极漫长的一段时间里，数学的发展总是与实际问题的产生紧密相连。十六世纪，由于天文、力学、航海等方面对几何学提出了新的需要，原先的几何方法不足以研究一些比较复杂的曲线，于是解析几何应运而生。
十九世纪，物理界发现了诸多关于电与磁的新现象，这些现象背后的本质始终不能被人们理解，因为当时的物理已经发展到了超越数学的地步。法拉第只能粗略地用假象出的电场线、磁感线来描述它们的一些性质，直到麦克斯韦方程组的出现才使得这一现象被打破，这当然是因为在那个时期，微积分理论正在逐渐完善，而麦克斯韦利用完善的微积分思想，成为电磁学的【集大成者】，他的方程组也促进了场论与拓扑学的研究。
二十世纪，广义相对论与量子力学的诞生使人们对宇宙有了更深的理解，而由于它们研究对象的空间曲率分别为正和负，欧式几何无法用来描述这些对象的性质，因此非欧几何在那一时期极速发展。在现代，弦理论、超弦理论的需要使得模函数的发展受到重视。再如洛伦兹在探究天气系统时发现了混沌现象。这样，我有大量的事实可以论证：实际应用的需求在引导和促成基础数学的发展，而基础数学发展的结果是通过应用数学反哺于实践。
诚然你刚才所说的话不无道理，基础数学家完善了各种数学理论，制造了各种数学工具，然后应用数学家将这些理论和工具通过实际应用使其价值昭之于民，同时应当根据实际的需求来指导基础数学家做研究。因此你的诡辩其实忽略了最后这一条，从而将它们本来和睦共处、互惠互利的关系扭曲为一种主仆关系。好好想想吧！真正的数学应当是怎样的。”
我的朋友一番犀利的话语直抵我的心灵深处，我的确被他攻击得一时手忙脚乱，不知从何处能为自己辩解。我只好看向了我的数学老师，他的神色缓和了不少，似乎是在对我朋友的观点表示赞同。那时的我是那样的无助，像是一座大厦忽然失去了它的地基，变得扶摇不定。我抬头看上空，秋季的星空，称得上是寂寥，北天的王族星座都被雾霭遮住了，只有一轮冷月冷落。向南寻去，还隐隐可见一颗白色亮星，那是秋夜中唯一的一等星——北落师门。
天上星
南天寂静亮星少，北落师门赛明灯。寻星歌诀中如是说道。我又长出了一口气，徐徐说道：“数学对于我而言，就像是星空那样的遥远。我从自己身上找不出一种力量，来追求我心中的数学。正因我学过数学史，我深知那最深最远的领域需要何等的天赋才可以企及。
帕斯卡16岁发现帕斯卡六边形定理，17岁写成《圆锥曲线论》；牛顿本科毕业时就诞生了微积分思想；欧拉16岁获得硕士学位；高斯16岁预测出非欧几何的诞生，19岁证明了正十七边形可尺规作图；伽罗瓦18岁就创造群论解决了根式求解代数方程问题；陶哲轩24岁就担任教授，31岁获菲尔兹奖。那些数学家就像群星一样耀眼，然而他们距离我是如此的遥远，以至于我从自己身上找不出一种力量来企及这样的高度。然而除了我以外，我相信有一些天才，他们有足够的天赋去追求那最深远的领域，当他们下定决心朝那星空飞去，他们必然会选择基础数学这条道路而不是应用数学。
因为现代数学实在是太繁杂，太抽象，我难以想象究竟需要怎样的大脑才能理解这些内容，所以即使是最天才的那些人，他们也需要花上接近30年时间来理解这些内容吧！然而数学家最高产、最富有创造力的时期也就是壮年时期，一旦过了45岁，他们就难以诞生出超前的思想了。因此时间对于数学家是那样的宝贵！如果数学家成天被纷至沓来的现实问题所困扰，就像是鸟儿被绑上了沉重的包袱，它又如何能飞至那遥远的星空之上呢？
我们知道，现实的问题是数之不尽的，对于解决它们，许多时候都是在做‘体力活’。数学本是历史的、创造的、流动的，在这历史、创造、流动过程中，一些东西蒸发了，另一些东西积淀了，最终剩下的才是结晶态的凝固知识。在这个过程中，基础数学家的数学思想是永恒的推动力。而应用数学家，所需的则是用那凝固的知识，总结出一些方法，来对生活中的问题提供解决方案。
因此，在我眼里，应用数学像是沉重的包袱，应用数学家像是数学的搬运工。有心追求数学的人，不应该为数之不尽的现实问题所累，而是心无旁骛的在数学的领域内探索。”
“你之前所说，基本上算是正确，但仍有失偏颇”我的朋友继续说道，“将应用数学家比作数学的搬运工，大致是恰当的。正如一栋建筑的建成，既需要有设计师、工程师，又需要有工人。缺少任何一个角色，整栋建筑都只是空想。
然而偏颇之处在于，人不可能做到远离现实，仅凭在纸上的推演就能达到极高深的境界。我觉得一般人对切身的事物所作的推理中，比读书人关在书房里所作的推理中，能得到更多的真理。一般人如果推理错了，他的推论导致的后果就会立刻来处罚他，而一个读书人所作的思辨的推理，则不产生任何后果，这些推理带给他的，只不过是离常识愈来愈远，他从中获得的虚荣也就愈，因为要力求使这些推理显得近乎真实，他就必须运用更多的心机与技巧。对于数学而言，在初期，你或许可以汲取前人的思想结晶。然而当你到达那些思想还没有结晶的领域，或者说当一个人到达那星空之上时，若没有其他的光点来指引他，他就会迷失。即是说没有现实问题来引导方向，基础数学是寸步难进的！”
我发愣在原地，我的朋友说的话是那样的正确，我难以再找到任何理由来反驳。我开始反思自己之前对基础数学和应用数学的认知，似乎这的确是我个人臆想出的东西。也许是刚开学时，在基础数学协会面试竟然没有通过，给了我很大的打击，也许是上个月的建模竞赛，使我感到数学建模是一个机械的体力活而心生厌恶。无论如何我的确对数学的认知产生了偏差，好在我的朋友及时地将我纠正过来。
这时我才注意到我的老师赞许的目光，老师说：“我十分欣慰，在这样的教育环境里能够培养出你们这样有着独立思想的学生，并且能够通过辩论来增进自己的理解，我必须要表扬你们，因为我深知这是何等的难得！你们已经能开始讨论这样深刻的问题，那我也说说我的理解吧！
基础数学和应用数学本是殊途同归的，他们在不同的领域内工作，并且相互协作，相互促进。但他们都是在数学这条大道上前行，他们有着共同的信仰，即是使数学能够得到发展，使数学理论能够得到实践。因此我们既需要仰望星空的基础数学家，也需要脚踏实地的应用数学家。”
老师的话总是高度地凝练，并且精辟，真是发纤浓于简古，寄至味于淡泊。我的朋友也点了点头，今日这一番激辩，对我们每个人都获益匪浅。我们重新坐下来，吸收并总结刚才的所辩论的内容。俄顷后，我抬头问老师：“老师，您刚才讲到‘这样的教育环境’，请问你对我们的教育有什么看法呢？”
老师听后，面色略微有些难堪，他时而苦笑，时而摇头，时而注目思考，他最终问我：“不知道你有没有看法可以讲讲？”
“我的确有一些管见。”我吸了一口气，开始在心中准备有关数学教育的内容。
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