球坐标系

如下图，建立空间直角坐标系 $Oxyz$ ，设 $P$ 是空间任意一点，连接 $OP$ ，记 $|OP|=r$ , $OP$ 与 $Oz$ 轴正向所夹的角为 $\varphi$ ，设 $P$ 在 $Oxy$ 平面上的射影为 $Q$ ，$Ox$ 轴按逆时针方向旋转到 $OQ$ 时所转过的最小正角为 $\theta$ . 这样点 $P$ 的位置就可以用有序数组 $(r,\varphi,\theta)$ 表示. 这样，空间的点与有序数组 $(r,\varphi,\theta)$ 之间建立了一种对应关系. 把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组 $(r,\varphi,\theta)$ 叫做点 $P$ 的球坐标，记做 $P(r,\varphi,\theta)$ ，其中 $r \geqslant 0$ , $0 \leqslant \varphi \leqslant \pi$ , $0 \leqslant \varphi < 2\pi$ , $\theta$ 称为方位角, $\dfrac{\pi}{2}-\varphi$ 称为高低角.

空间点 $P$ 的直角坐标 $(x,y,z)$ 与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为

$x=r \sin \varphi \cos \theta$

$y=r \sin \varphi \sin \theta$

$z=r \cos \varphi$

如果图中 $r=3$ , $\varphi=\dfrac{\pi}{3}$ , $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ ，则 $P$ 的直角坐标 $(x,y,z)$ 等于$(\dfrac{9}{4},\dfrac{3\sqrt{3}}{4},\dfrac{3}{2})$ .