对数的发明

对数的发明

对数的发明是计算技术的一次重大的进步. 16世纪初，欧洲人的商业活动和科学探索对计算技术提出了更高的要求. 特别是以精确测量为基础的天文学的兴起，使得人们遇到了繁杂的数值计算. 人们由衷地希望能简化计算，比如说把乘除运算归结为简单的加减运算等.

施蒂费尔

德国数学家施蒂费尔（M.Stifel，1487-1576）第一次引入了指数的概念（约1544年），他在其著作《整数算术》讨论了几何级数与其指数之间的关系，指出：几何数列 $1, r, r^2, r^3, \cdots$ 的各项与期指数数列 $0, 1, 2, 3, \cdots$ 的各项对应，几何数列中两项相高所得的项，其项的指数等于对应的指数数列中两项的和（差）. 他甚至还把两个数列之间的这种关系推广到负指数和分数指数的情形. 但他最终并没有提出对数的概念.

纳皮尔

对数发明的功绩应该归于苏格兰贵族纳皮尔（John Nieper, 1550-1617）. 1594年他即构造出对数方法，然而完成对数这一方法却用了20年时间，但直到1614年，才在题为《奇妙的对数定理说明书》一书中，阐述了他的对数方法. 虽然施蒂费尔已经提出了级数的思想，但纳皮尔并没有从离散级数的比较出发，而是借助于运动的概念与连续的几何量的结合来引入对数. 他的思想方法是：如图，假定质点 $P$ 沿着一有限直线 $AZ$ 运动，另一质点A沿着一无限长直线 $A'Z'$ 运动. 两个质点开始运动时的初速度相同，$Q$ 的速度保持不变，而 $P$ 的速度则以如下方式变化：在其路径上任意一点 $B$ 的速度与该点到终点的距离即 $BZ$ 成正比，高比例系数和为 $1$ . 如果当 $P$ 点位于 $B$ 时， $Q$ 点位于$B'$ ，则将 $A'B'$ 称为 $BZ$ 的对数.

抛开纳皮尔繁琐的描述，我们借助于微积分的方法来介绍纳皮尔这一精湛的数学思想. 令$AZ=a$ , $BZ=y$ , $A'B'=x$ ，于是有$AB=a-y$ . 因此质点 $P$ 在 $B$ 点的速度可由$\dfrac{\text{d} (a-y)}{\text{d} t}$ 给出，这里的 $t$ 为时间.

由定义有$\dfrac{\text{d} (a-y)}{\text{d} t}=y$ , 解之可得

$-\ln y=c+t$ .

但在 $A$ 点有 $t=0, y=a$ , 所以 $c=-\ln a$ .

此外，因为 $Q$ 沿 $A'Z'$ 做匀速运动，即 $\dfrac{\text{d} x}{\text{d} t}=a$ ，所以 $x=at$ . 因此上述关系变为

$-\ln y=\dfrac{x}{a}-\ln a$ , 

或

$x=a(\ln a -\ln y)$ $=a \ln \dfrac{a}{y}$ .

纳皮尔称 $x$ 为 $y$ 的对数，这实际上是以 $\dfrac{1}{e}$ 为底的对数. 但纳皮尔并没有“底”的概念，这是因为当时还没有明确的指数的概念. 对数概念的建立先于指数，这也是数学发展过程中的一个趣闻. （摘自于朱家生《数学史》，与前文略有矛盾）

纳皮尔发明对数的目的其实是想用对数来解决平面和球面三角问题，因此他制作了以分弧为间隔的 $0 \degree$ ~ $90 \degree$ 的正弦对数表.

真正认识到纳皮尔对数的实用价值的是他的朋友、伦敦格雷沙姆学院的几何学教授布里格斯（H.Briggs, 1561-1631）. 他与纳皮尔合作，决定利用关系 $y=10^x$ （当$x=x_1+x_2$ 时，$y=y_1 y_2$ ）来设计对数，这就是今天所谓的以10为底的常用对数. 这种对数的优越性是显然的，因为我们的数系是10进制的. 他的《对数算术》(1624)实际上就是一张1~20000以及90000~100000的14位常用对数表.

与纳皮尔一起分享发明对数方法殊荣的还有瑞士人比尔吉（J.Burgi,1552-1632）. 据说他就是从施蒂费尔级数的对应思想出发引入了对数.

对数发明之后不到一个世纪，这种奇妙的算法传遍世界，成为人们不可或缺的计算工具. 它的出现让那些需要计算的学者、尤其是天文学家欣喜若狂，拉普拉斯曾经赞誉说：“对数的发明以节省劳力而延长了天文学家的寿命.” 伽利略甚至说：“给我空间、时间和对数，我即可创造一个宇宙.”

在文艺复兴时期，特别是16、17世纪，欧洲的数学工作者们冲破宗教势力的禁锢，发奋图强，使得初等数学这一古老学科的主要内容基本成熟，为近代数学的兴趣以及后来的发展铺平道路，并为后来欧洲成为世界数学的中心，且长盛不衰打下了坚实的基础.