孪生素数猜想的新突破
孪生素数猜想的新突破
佐佑
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孪生素数猜想是数论领域中最著名的猜想之一，自提出以来，便一直困扰着数学家。孪生素数是指那些相差为2的素数对，比如3和5、5和7、11和13、17和19、599和601……除了第一对孪生素数（即3和5）之外，每个孪生素数对中的第一个素数总是比6的倍数小1。所以第二个孪生素数总是比6的倍数大1。孪生素数猜想说的是，在自然数集中，这样的孪生素数对有无穷多个。
在详细讨论孪生素数猜想之前，我们先来看看素数的一些规律。首先，2以外的所有素数都是奇数，偶数总是比6的倍数大0、2或4，而奇数总是比6的倍数大1、3或5。在奇数的这三种可能中，有一种会引发问题，那就是如果一个数比6的倍数大3，那么它的因数就是3。这样一来就意味着这个数不是素数（除了3本身之外）。这也就是为何有三分之一的奇数都不是素数。
1849年，法国数学家波林那克（Alphonse de Polignac）提出孪生素数猜想。在接下来的160年里，数学家在这一方面几乎没能取得任何进展。但在过去十年间，数学家取得了突飞猛进的进展。比如既然证明有无穷多个差值为2的素数如此困难，那么是否可以证明差值为7000万的素数有无穷多个？2013年，数学家张益唐完美地证明了这一点。
在过去的6年里，包括陶哲轩在内的数学家一直致力于缩减这个素数差值，目前的最好结果是246，虽然无从知道是否有从246缩减到2的那一天，但数学家们在越来越接近孪生素数猜想的最终解。
2.
2019年9月7日，数学家Will Sawin和Mark Shusterman发布了一个证明，为孪生素数猜想的研究开辟了一条新的路径。
新的证明是在一个被称为有限数系统的设定探讨孪生素数猜想。在有限数系统中，可用的数字可能只有少数几个。这种数字系统被称为“有限域”，尽管这是一个很小的域，但它们却保有无限整数所拥有的许多数学性质。数学家一直试图在有限域上解决算术问题，然后再将结果转换成整数。
在对孪生素数猜想的研究陷入停滞期时，数学家们认为，若要彻底解决这个问题，就必须提出全新的方法，而有限数系统就是一个很好的选择。
要构建一个有限域，首先要从自然数中提取出一个有限的数字子集。比如取最小的5个自然数，或者取某几个素数。除此之外，还要改变我们对数字的呈现方式，在通常的想象中，数字是沿着一条数轴展开的，而这里需要我们将数字想象成时钟表面的数字系统（如下图）。
有限数系统。一个有限域包含了有限的数字元素。| 图片来源：Quanta Magazine
比如在一个只有5个元素的有限数系统中，4 + 3 = 2。在这种系统下，其他运算也遵循相似的规律。不过在有限域中，我们所熟知的素数概念并没有意义，这里的每个数都能被其他数整除。例如7是本来是不能被3整除的，但在一个只有5个元素的有限域中它却可以。这是因为在这个有限域中，7和12是一样的，它们在钟面上的2的位置上，所以7除以3与12除以3一样都等于4。
如此一来，有限域的孪生素数猜想就与素多项式相关了。什么是素多项式？假设一个有限域包含的数字是1、2、3，在这个有限域中，多项式是以这些数字作为系数的，而一个“素多项式”则是指无法被分解的多项式。例如x² + x + 2就是素多项式，因为它不能被因式分解；而x² - 1就不是素多项式，它可以分解成(x + 1)和(x - 1)的乘积。
那什么又是孪生素多项式呢？这是指一对差值为固定间隔的素多项式。例如x² + x + 2是素多项式，x² + 2x + 2也是素多项式，两者相差一个多项式x。有限域版本的孪生素数猜想说的是，差值为x的孪生素多项式有无穷多对，而且它们可以相差任意距离。
3.
有限域和素多项式看似过于人为，但这样做的好处是数学家可以将整数问题转化成多项式问题，它们或许比整数更易处理。
20世纪40年代，著名的法国数学家安德雷·韦伊（Andre Weil）发明了一种能精确地将小的数字系统中的算术转换为整数算术的方法，这一发现将有限域的概念推入了公众视野。在有限域的设置中，一些几何学中的技术可被用来回答与数字有关的问题。这是有限域特有的性质，很多问题都是凭借这种用几何方式进行的重新表述而得到了解答。
利用这种思维，我们可以将每个多项式想象成空间中的一个点，将多项式的系数视为定义了多项式位置的坐标。再以上述的含有1、2、3的有限域为例，多项式x + 3就是二维空间中的点(1, 3)。
只需通过增加表达式的最高次幂就可以构造出更复杂的多项式，因此即使是最简单的有限域也有无限个多项式。比如多项式 x²−3x−1 就可以由三维空间中的点(1, -3, -1)表示，多项式3x⁷ + 2x⁶ + 2x⁵−2x⁴−3x³ + x²−2x + 3可用8维空间中的一个点表示。这种几何空间代表了一个给定的有限域内的所有多项式。
利用这种几何方法，Sawin和Shusterman证明了两个关于素多项式在有限域中的结果：
1、孪生素数猜想在有限域中是正确的：相差任意间隔的孪生素多项式有无穷多对。
2、这项研究为在给定幂指数的多项式中寻找孪生素多项式的个数提供了精确的计数方法。这就好比是知道在足够大的数值区间内含有多少孪生素数一样。
第二个结果是数学家一直梦寐以求的。他们的证明表明，在近80年后，数学家仍在积极地追随韦伊对有限域的应用。现在，其他一些研究孪生素数猜想的数学家们也将在Sawin和Shusterman的基础上继续前行。
参考来源：
https://arxiv.org/pdf/1808.04001.pdf
https://www.quantamagazine.org/big-question-about-primes-proved-in-small-number-systems-20190926/
https://www.math.ucla.edu/news/terry-tao-phd-small-and-large-gaps-between-primes
