梅森猜想及数论中的另两个难题

形如 $F_n =2^{2^n}+1$ 的数称为费马数(Fermat number)，当 $n=0,1,2,3,4$ 时，$F_n$ 都为素数，因此费马曾猜想：当 $n \in \bold {N}$ 时，$F_n$ 都为素数. 但实际上，$F_5,F_6$ 都是合数，并且现在还没有找到一个 $n \geqslant 5$ 使得 $F_n$ 为素数，当然，人们也没有证出：当 $n \geqslant 5$ 时，$F_n$ 都为合数.

形如 $M_k=2^k-1$ 的数称为梅森数(Mersenne number)，并不是 $k$ 为素数时，数$M_k$ 都为素数，目前人们只找到了 46 个梅森素数. 著名的梅森猜想是：存在无穷多个素数 $k$ ，使得 $M_k$ 为素数.

容易证明：当 $n \ne m$ 时，$(F_n,F_m)=1$ ；当奇素数 $p,q$ 不相同时，$(2^p-1,2^q-1)=1$ ，因此，前面的每一次成功找到 $F_n$ 或 $M_n$ 的素因子，都对下一个数的素因子寻找工作几乎没有帮助.

另外，有：

若 $2^n+1$ 为素数，则一定存在 $k \in \bold {N}$ ，使得 $n=2^k$ .

若 $2^n-1$ 为素数，则 $n$ 一定为素数，反过来不一定成立.