安卓手机扫描二维码安装App

青羽讲数学史(五)


青羽讲数学史(五)

数学长征,青羽



1.  复兴前夕


公元前212年,罗马人攻破了阿基米德的祖国——叙拉古。阿基米德所发明的投石车和起重器,虽为叙拉古抵御罗马帝国的入侵立下了汗马功劳,然而却终究逆不了大势。罗马士兵潜行通过一座管理宽松的瞭望塔,轻松进入内城,叙拉古人发现时已无力回天。


侵城而入的罗马人,在沙地上见着了一个满身泥污的75岁老人,他对周遭此起彼伏的恐惧置若罔闻,他席地而坐,在沙地上画着圆圈,正试着证明着某条定理。一个罗马士兵向前,命令他离开此地,老人严词拒绝了他的要求,因为它的证明推导尚未完成。士兵勃然大怒,立马一刀将他刺死于沙地。罗马人挥手一刀,世界就少了一位伟大的思想家。


杀死阿基米德是罗马人对数学做出的最大贡献之一。罗马帝国延续七百年之久,在这段漫长的岁月里,数学的发展停滞不前。历史的车轮滚滚向前:基督教在欧洲迅速传播蔓延,罗马帝国终分崩离析,亚历山大图书馆烈火滔天(世界上最古老的图书馆之一,曾是人类文明世界的太阳,它先后毁于三次大火,其中一次是阿拉伯帝国的国王将馆藏图书交给城里的4000多个公共澡堂做燃料,足足烧了6个月之久),黑暗时代拉开序幕。(指从罗马帝国灭亡到文艺复兴开始前的时期,这一时期战争不断,民不聊生)


黑暗时代下,西方的数学几可谓没有任何进展。封建割据带来频繁的战争,天主教对人民思想的禁锢,教义信条高于一切经验与理论。使得整整千年的西方文明蒙尘,由古希腊与罗马的高度繁荣回到愚昧迷信。在这个时代,向前看是挥之不尽的迷雾,向后看是希望绝迹的厄土。


在中世纪,数学的发展受到极大的阻力。对处于统治地位的基督教来说,自然是希望使人民信奉他们的教义,而非以哲学或科学思想动摇其教义。于是基督教将对数学的禁止渗透于法律之中,将数学家于凶犯等同起来,禁止任何人学习希腊学术。基督教垄断了所有的文化教育,异己学校被取缔,世俗文化被否定,思想萌芽被扼杀……


有如万丈迷津,遥亘千里。在这里,未来甚至比过去更为可怕……



2. 代数学——对高次方程的求解历程

到了14世纪人文主义精神终于觉醒,它反对愚昧迷信的神学思想,倡导个性解放,肯定了人的价值和尊严。在此背景下,希腊学术与罗马文艺在此兴起,一大批优秀的数学家踊跃出来。


若论这期间最辉煌的数学成就,莫过于对高次方程的研究和三角学的发展以及解析几何的诞生。

伟达

在此之前,人们对二次方程都不求甚解。最早是韦达发现了二次方程根与系数的关系,即对于ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 ,有x1+x2x_1+x_2 =ba=-\dfrac{b}{a}x1x2=cax_1 \cdot x_2=\dfrac{c}{a} 。这个关系也被称作韦达定理,由此韦达在欧洲被称作代数学之父。


当人们彻底弄懂二次方程之后,自然将视线转移到了更高次的三次方程,而对于三次方程的研究,其复杂程度与艰辛远远甚于二次方程。


在1535年,塔塔利亚宣布他发现了三次方程的解法,使当时的数学家弗里奥勃然大怒。弗里奥手中有他老师毕生研究的一些解法,他自恃天资聪颖,并且学习条件得天独厚,认为没有人可以先于他发现三次非常的奥秘,于是向塔塔利亚提出挑战,要公开进行数学竞赛。


塔塔利亚


在文艺复兴时期,知识产权的保护并不像如今这般全面,盗版、侵权现象屡见不鲜。于是那个时期的数学家即使发现了一些定理,也秘而不宣,而是以公开竞赛的方式在学术界确立自己的地位。可以简单理解为,只有在竞赛中获胜者才具有发言权。


塔塔利亚收到弗里奥的来信,十分紧张,因为他清楚他所掌握的仅是一些特殊情况,并不具有普遍性。不过,塔塔利亚很快镇定下来,潜心研究,苦苦思索,终于于竞赛前十天发现了新方法,能够对一般性的三次方程进行求解。比赛当天,塔塔利亚以高姿态完胜对方,然而他并不自满,而是继续完善他的方法,终于在1539年,他才真正得到了一般三次方程的解法。


此时亦有一位驰名欧洲的医生卡尔达诺正醉心于三次方程的研究。他的研究方向是先用一些特殊例子来入手,进而寻求一般方法。值得注意的是,在文艺复兴时期,人们对“负数”的概念尚不清楚,因此对于解方程过程中出现的负数根,数学家会直接摒弃。同时受限于数学符号和语言的落后,他们的表述内容在我们今天看来也是极其难懂。(关于符号和语言的简洁形式,要感谢18世纪的欧拉大神)


卡尔达诺


卡尔达诺设置了一个问题:立方加一面的六倍等于20,这是“立方加某个东西等于数字”的特殊情形,要求此立方的边长,相当于解方程x3+6x=20x^3+6x=20 。卡尔达诺使用了一个巧妙额构造,他使 x=uvx=u-v ,并且限制 uv=2uv=2xx 项系数的1/3)。这样原方程就换为 (uv)3+3uv(uv)=20(u-v)^3+3uv(u-v)=20 ,对左式变形可得 u3v3=u3(2/u)3=20u^3-v^3=u^3-(2/u)^3=20 ,即 u68=20u3u^6-8=20u^3 ,这是一个关于 u3u^3 的二次方程,由这样就可以求出 uu ,进而求出 vv ,那么 xx 也可表示出来了。


卡尔达诺为自己这个新方法的微妙构造感到欣喜,他立马又设置了新的问题:立方减边长的15倍等于4,这是“立方减某个东西等于数字”的特殊情形。这个问题相当于解方程 x3=15x+4x^3=15x+4 ,他用类似的方法,不过这次是设x=u+vx=u+v ,使uv=5uv=5 ,那么(u+v)33uv(u+v)(u+v)^3-3uv(u+v)=u3+v3=u^3+v^3=u3+(5/u)3=u^3+(5/u)^3=4 =4 ,等效于求解 u64u3+125=0u^6-4u^3+125=0 注意看这里的 Δ\Delta =424×125<0=4^2 -4 \times 125 <0 ,也就是此处的 uu 不可求,那么 vv 也不可求,xx 也不可求。


为什么会出现这样的反常现象呢?卡尔达诺百思不得其解。他深知 x=4x=4 是这个方程的解,但为何用他的新方法会出现这样的问题?卡尔达诺得出结论,他的新方法既是微妙的,也是无用的。


卡尔达诺为此懊恼不已时,听闻了名声大噪的塔塔利亚的事迹,于是欣喜若狂,立马求见塔塔利亚,希望他能分享这一成果。塔塔利亚一开始并不接受,然而卡尔达诺以“勤奋”、“刻苦”、“真诚”的假象,恳切相求,并庄严起誓此生绝不与任何人公开这些秘密。塔塔利亚深受感动,他从卡尔达诺身上看到了自己幼年时的影子。


1512年,法国军队翻过了阿尔卑斯山。士兵破城后,见人就砍,乱冲乱杀。不幸的居民喋血于法国人的刀下。动乱结束后,此地仅余一片狼藉,而一片尸体下面,还有一个小男孩,小男孩被他父亲的尸体盖住了他幼小的身躯,但他的头颅还是被劈中了一刀。战后小男孩的母亲将其救出,经过精心照料,伤口竟然痊愈了,然而他却一辈子咬字不清,成了一个结巴。


在死的痛苦中,小男孩并未放弃生的希望,他天资聪颖,勤奋好学,一步步从低谷爬起,最终成为名誉响遍欧洲的数学家。


老实的塔塔利亚并未识破卡尔达诺的演技,他热心地为卡尔达诺讲授他的秘法,让卡尔达诺遂了心愿。结果没过多久,卡尔达诺就用自己的名字发表了《大术》一书,其中介绍了三次方程的解法。从此卡尔达诺名声大震,世人为了纪念他,将三次方程的求根公式成为“卡尔达诺公式


塔塔利亚听闻此消息后自然是怒发上指冠,他立马发表一篇文章,讲述当天经过,谴责卡尔达诺背信弃义,并要求与卡尔达诺公开竞赛。结果参赛当天,出阵的确是卡尔达诺的天才学生费尔拉里。在这次竞赛中,塔塔利亚最终败下阵来。这对塔塔利亚来说,是何等大的打击啊!


然而塔塔利亚并未因这件事而一蹶不振——一如他童年时擦干身上的血渍,以坚毅而不甘没落的心昂首直面这个旷古未有的大世——文艺复兴。塔塔利亚痛定思痛,潜心于代数学的研究,发表了多章鸿篇巨著。这位不善口才的数学家于1557年与世长辞,享年58岁。


苹果手机扫描二维码安装App