青羽讲数学史（五）

青羽讲数学史（五）

数学长征，青羽

1.  复兴前夕

公元前212年，罗马人攻破了阿基米德的祖国——叙拉古。阿基米德所发明的投石车和起重器，虽为叙拉古抵御罗马帝国的入侵立下了汗马功劳，然而却终究逆不了大势。罗马士兵潜行通过一座管理宽松的瞭望塔，轻松进入内城，叙拉古人发现时已无力回天。

侵城而入的罗马人，在沙地上见着了一个满身泥污的75岁老人，他对周遭此起彼伏的恐惧置若罔闻，他席地而坐，在沙地上画着圆圈，正试着证明着某条定理。一个罗马士兵向前，命令他离开此地，老人严词拒绝了他的要求，因为它的证明推导尚未完成。士兵勃然大怒，立马一刀将他刺死于沙地。罗马人挥手一刀，世界就少了一位伟大的思想家。

杀死阿基米德是罗马人对数学做出的最大贡献之一。罗马帝国延续七百年之久，在这段漫长的岁月里，数学的发展停滞不前。历史的车轮滚滚向前：基督教在欧洲迅速传播蔓延，罗马帝国终分崩离析，亚历山大图书馆烈火滔天（世界上最古老的图书馆之一，曾是人类文明世界的太阳，它先后毁于三次大火，其中一次是阿拉伯帝国的国王将馆藏图书交给城里的4000多个公共澡堂做燃料，足足烧了6个月之久），黑暗时代拉开序幕。（指从罗马帝国灭亡到文艺复兴开始前的时期，这一时期战争不断，民不聊生）

黑暗时代下，西方的数学几可谓没有任何进展。封建割据带来频繁的战争，天主教对人民思想的禁锢，教义信条高于一切经验与理论。使得整整千年的西方文明蒙尘，由古希腊与罗马的高度繁荣回到愚昧迷信。在这个时代，向前看是挥之不尽的迷雾，向后看是希望绝迹的厄土。

在中世纪，数学的发展受到极大的阻力。对处于统治地位的基督教来说，自然是希望使人民信奉他们的教义，而非以哲学或科学思想动摇其教义。于是基督教将对数学的禁止渗透于法律之中，将数学家于凶犯等同起来，禁止任何人学习希腊学术。基督教垄断了所有的文化教育，异己学校被取缔，世俗文化被否定，思想萌芽被扼杀……

有如万丈迷津，遥亘千里。在这里，未来甚至比过去更为可怕……

2. 代数学——对高次方程的求解历程

到了14世纪人文主义精神终于觉醒，它反对愚昧迷信的神学思想，倡导个性解放，肯定了人的价值和尊严。在此背景下，希腊学术与罗马文艺在此兴起，一大批优秀的数学家踊跃出来。

若论这期间最辉煌的数学成就，莫过于对高次方程的研究和三角学的发展以及解析几何的诞生。

伟达

在此之前，人们对二次方程都不求甚解。最早是韦达发现了二次方程根与系数的关系，即对于$ax^2+bx+c=0$ ，有$x_1+x_2$ $=-\dfrac{b}{a}$ ，$x_1 \cdot x_2=\dfrac{c}{a}$ 。这个关系也被称作韦达定理，由此韦达在欧洲被称作代数学之父。

当人们彻底弄懂二次方程之后，自然将视线转移到了更高次的三次方程，而对于三次方程的研究，其复杂程度与艰辛远远甚于二次方程。

在1535年，塔塔利亚宣布他发现了三次方程的解法，使当时的数学家弗里奥勃然大怒。弗里奥手中有他老师毕生研究的一些解法，他自恃天资聪颖，并且学习条件得天独厚，认为没有人可以先于他发现三次非常的奥秘，于是向塔塔利亚提出挑战，要公开进行数学竞赛。

塔塔利亚

在文艺复兴时期，知识产权的保护并不像如今这般全面，盗版、侵权现象屡见不鲜。于是那个时期的数学家即使发现了一些定理，也秘而不宣，而是以公开竞赛的方式在学术界确立自己的地位。可以简单理解为，只有在竞赛中获胜者才具有发言权。

塔塔利亚收到弗里奥的来信，十分紧张，因为他清楚他所掌握的仅是一些特殊情况，并不具有普遍性。不过，塔塔利亚很快镇定下来，潜心研究，苦苦思索，终于于竞赛前十天发现了新方法，能够对一般性的三次方程进行求解。比赛当天，塔塔利亚以高姿态完胜对方，然而他并不自满，而是继续完善他的方法，终于在1539年，他才真正得到了一般三次方程的解法。

此时亦有一位驰名欧洲的医生卡尔达诺正醉心于三次方程的研究。他的研究方向是先用一些特殊例子来入手，进而寻求一般方法。值得注意的是，在文艺复兴时期，人们对“负数”的概念尚不清楚，因此对于解方程过程中出现的负数根，数学家会直接摒弃。同时受限于数学符号和语言的落后，他们的表述内容在我们今天看来也是极其难懂。（关于符号和语言的简洁形式，要感谢18世纪的欧拉大神）

卡尔达诺

卡尔达诺设置了一个问题：立方加一面的六倍等于20，这是“立方加某个东西等于数字”的特殊情形，要求此立方的边长，相当于解方程$x^3+6x=20$ 。卡尔达诺使用了一个巧妙额构造，他使 $x=u-v$ ，并且限制 $uv=2$ （$x$ 项系数的1/3）。这样原方程就换为 $(u-v)^3+3uv(u-v)=20$ ,对左式变形可得 $u^3-v^3=u^3-(2/u)^3=20$ ，即 $u^6-8=20u^3$ ，这是一个关于 $u^3$ 的二次方程，由这样就可以求出 $u$ ，进而求出 $v$ ，那么 $x$ 也可表示出来了。

卡尔达诺为自己这个新方法的微妙构造感到欣喜，他立马又设置了新的问题：立方减边长的15倍等于4，这是“立方减某个东西等于数字”的特殊情形。这个问题相当于解方程 $x^3=15x+4$ ，他用类似的方法，不过这次是设$x=u+v$ ，使$uv=5$ ，那么$(u+v)^3-3uv(u+v)$$=u^3+v^3$$=u^3+(5/u)^3$$=4$ ，等效于求解 $u^6-4u^3+125=0$ 注意看这里的 $\Delta$$=4^2 -4 \times 125 <0$ ，也就是此处的 $u$ 不可求，那么 $v$ 也不可求，$x$ 也不可求。

为什么会出现这样的反常现象呢？卡尔达诺百思不得其解。他深知 $x=4$ 是这个方程的解，但为何用他的新方法会出现这样的问题？卡尔达诺得出结论，他的新方法既是微妙的，也是无用的。

卡尔达诺为此懊恼不已时，听闻了名声大噪的塔塔利亚的事迹，于是欣喜若狂，立马求见塔塔利亚，希望他能分享这一成果。塔塔利亚一开始并不接受，然而卡尔达诺以“勤奋”、“刻苦”、“真诚”的假象，恳切相求，并庄严起誓此生绝不与任何人公开这些秘密。塔塔利亚深受感动，他从卡尔达诺身上看到了自己幼年时的影子。

1512年，法国军队翻过了阿尔卑斯山。士兵破城后，见人就砍，乱冲乱杀。不幸的居民喋血于法国人的刀下。动乱结束后，此地仅余一片狼藉，而一片尸体下面，还有一个小男孩，小男孩被他父亲的尸体盖住了他幼小的身躯，但他的头颅还是被劈中了一刀。战后小男孩的母亲将其救出，经过精心照料，伤口竟然痊愈了，然而他却一辈子咬字不清，成了一个结巴。

在死的痛苦中，小男孩并未放弃生的希望，他天资聪颖，勤奋好学，一步步从低谷爬起，最终成为名誉响遍欧洲的数学家。

老实的塔塔利亚并未识破卡尔达诺的演技，他热心地为卡尔达诺讲授他的秘法，让卡尔达诺遂了心愿。结果没过多久，卡尔达诺就用自己的名字发表了《大术》一书，其中介绍了三次方程的解法。从此卡尔达诺名声大震，世人为了纪念他，将三次方程的求根公式成为“卡尔达诺公式”

塔塔利亚听闻此消息后自然是怒发上指冠，他立马发表一篇文章，讲述当天经过，谴责卡尔达诺背信弃义，并要求与卡尔达诺公开竞赛。结果参赛当天，出阵的确是卡尔达诺的天才学生费尔拉里。在这次竞赛中，塔塔利亚最终败下阵来。这对塔塔利亚来说，是何等大的打击啊！

然而塔塔利亚并未因这件事而一蹶不振——一如他童年时擦干身上的血渍，以坚毅而不甘没落的心昂首直面这个旷古未有的大世——文艺复兴。塔塔利亚痛定思痛，潜心于代数学的研究，发表了多章鸿篇巨著。这位不善口才的数学家于1557年与世长辞，享年58岁。