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圆锥体积公式推导过程1



设圆锥体的高为hh ,底面半径为 rr

把圆锥切分为 kk 份,下图分别为从侧面看和从顶向下看



则每一份的高为 hk\dfrac{h}{k}

从顶向下,第nn 份的底面半径为nrk\dfrac{nr}{k}

从顶向下,第nn 份的底面面积为π(nrk)2\pi(\dfrac{nr}{k})^2 ,即πn2r2k2\dfrac{\pi n^2 r^2}{k^2}

当切分数很多时,每一份可以看成一个圆柱体,于是

从顶向下,第nn 份的体积为πhn2r2k3\dfrac{\pi h n^2 r^2}{k^3}

于是总体积为(将nn 替换为1到kk ,求和):


V=πhr2(12+22+32+42++k2)k3V=\dfrac{\pi h r^2(1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots+k^2)}{k^3}

在第248题中我们得到自然数的平方和经验公式:

12+22+32+42++k2=k(k+1)(2k+1)61^2+2^2+3^2+4^2+\cdots+k^2=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}

代入总体积公式,得到


V=πhr2k(k+1)(2k+1)6k3V=\dfrac{\pi h r^2 k (k+1) (2k+1)}{6k^3}

上式中的右则,再写详细一些


V=πhr26kkk+1k2k+1kV=\dfrac{\pi h r^2}{6} \centerdot \dfrac{k}{k} \centerdot \dfrac{k+1}{k} \centerdot \dfrac{2k+1}{k}

所以有

V=πhr2(1+1k)(2+1k)6V=\dfrac{\pi h r^2 (1+\dfrac{1}{k}) (2+\dfrac{1}{k})}{6}

当切分数很多很多时,kk 趋近于无穷大,所以1k0\dfrac{1}{k}\approx0

于是得到

V=13πr2hV=\dfrac{1}{3} \pi r ^2 h




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