二元一次不定方程有解的必要条件

二元一次不定方程的一般形式为

$ax+by=c$     $(1)$

其中 $x,y$ 是未知数，$a,b,c$ 为整数，且 $a,b$ 不等于 $0$ .

由于未知数的个数多于方程的个数，所以把这样的方程或方程组叫做不定方程, 也称为丢番图方程(Diophantine equation).

不定方程不一定有整数解，例如 $2x+4y=3$ ，对任意 $x,y$ ，方程左边恒为偶数，而方程右边为奇数，因此无整数解.

方程 $(1)$ 在 $(a,b) \mid c$ 时必有整数解. 特殊情况下，如果 $a,b$ 互素，即$(a,b)=1$ ，那么必有整数解.

同样，对于三元一次不定方程

$ax+by+cz=d$ （其中 $x,y,z$ 是整数，$a,b,c$ 不等于零且 $a,b,c,d$ 都是整数）

当 $(a,b,c) \mid d$ 时必有整数解. 特殊情况下，如果 $a,b,c$ 两两互素，那么必有整数解.