裂项相消法3——对数型

裂项相消法3——对数型

裂项相消法是把一个数列的每一项分裂为两项之差的形式，从而求数列之和的方法. 根据数列类型的不同，可以分为多种类型，本期讲对数型.

裂项相消法——对数型.

对数型主要依据以下恒等变换进行裂项：

$\log _a \dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ $=\log _a a_{n+1}$ $- \log _a a_n$ .

【例】

已知数列 $\{ a_n \}$ 的通项为 $a_n= \lg \dfrac{n+1}{n}$ ，计算此数列的前多少项之和等于3？

【分析】

$\lg \dfrac{n+1}{n}$ $=\lg (n+1) - \lg n$

【解】

令前 $n$ 项和为3，有

$\lg 2 -\lg 1$ $+ \lg3 -\lg2$ $+\cdots +$ $\lg(n+1)- \lg n$ $=3$

$\lg(n+1) -\lg 1$ $=3$

$n=999$