关于整除

整除

本文中所有字母均表示整数

定义及性质

对于正整数 $a$ 、$b$ ，有带余除法：

$a=bq+r$ $(0 \leqslant r<b)$

其中 $q$ 称为商，$r$ 称为余数.

特别地，若 $r=0$ ，$a=bq$ ，则称 $a$ 被 $b$ 整除或称 $b$ 整除 $a$ ，记为 $b \mid a$ . 这时也称 $a$ 是 $b$ 的倍数，$b$ 是 $a$ 的因数或约数.

若 $r \ne 0$ ，则称 $b$ 不整除 $a$ ，记为 $b \nmid a$ .

因为 $0=0 \times b$ ，所以我们认为 $0$ 是任一整数 $b$ 的倍数.

对于一般整数 $a$ 、$b$ $(b \ne 0)$ ，若 $|b| \mid |a|$ ，则称 $b \mid a$ .

通常说到倍数、约数，都是指正的倍数与正的约数.

整除有下面的基本性质：

1、 若 $a \mid b$ ，$b \mid c$ ，则 $a \mid c$ .

2、 若 $a \mid b$ ，$k$ 为整数，则 $a \mid kb$ .

3、 若 $a \mid b$ ，$a \mid c$ ，则 $a \mid (b \pm c)$ .

4、 若 $a \mid bc$ ，且 $a$ 与 $c$ 互质，则 $a \mid b$ .

特别地，若质数 $p \mid bc$ ，则必有 $p \mid b$ 或 $p \mid c$ .

5、 若 $b \mid a$ ， $c \mid a$ ，且 $b$ 与 $c$ 互质，则 $bc \mid a$ .

应用

本App中有几道相关的题目，如：

第566题：任给一个自然数$N$，把$N$ 的各位数字按相反顺序写出来，得到一个新的自然数$N'$，则$N -N'$ 一定被9整除，对吗？

第567题：有一个三位数，如果它减去7，就能被7整除. 如果它减去8，就能被8整除. 如果它减去9，就能被9整除. 求这个三位数.