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抛物线的焦点弦的性质



上图中, ABAB 是过抛物线 y2=2pxy^2=2px (p>0)(p>0) 的焦点的弦, 称为焦点弦, 其中 FF 是焦点, 直线 ll 是其准线, AA 点坐标(xa,ya)(x_a,y_a) , BB 点坐标 (xb,yb)(x_b,y_b) , AClAC \perp l , BDlBD \perp l , 且 M,NM,N 分别是 AB,CDAB,CD 的中点, 抛物线的焦点弦有以下性质:


A. yayb=p2y_a y_b =-p^2 , 且 xaxb=p24x_a x_b =\dfrac{p^2}{4}


B. CFD=90°\angle CFD =90 \degree , 且 NFABNF \perp AB , ANBNAN \perp BN


C. AB=xa+xb+p|AB|=x_a +x_b+p


D. AB=yayb22p|AB|=\dfrac{|y_a-y_b|^2}{2p}

E. AB=2psin2θ|AB|=\dfrac{2p}{\sin^2 \theta } (θ\thetaABAB 的倾斜角)


F. 直角梯形 ABCDABCD  的对角线交于原点OO , 且 SAOB=SCODS_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD} =p4yayb\dfrac{p}{4}|y_a -y_b|


G. MNMN 被抛物线平分, 交点 RRMNMN 的中点


H. RF=12MN|RF|=\dfrac{1}{2}|MN| =14AB=\dfrac{1}{4}AB


I. 1AF+1BF=2p\dfrac{1}{|AF|}+\dfrac{1}{|BF|} =\dfrac{2}{p}


J. 以 ABAB 为直径的圆和准线l相切

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