250个数学难题：7
连续统势确定问题
The Problem of The Cardinality of The Continuum
连续统势确定问题 实数集合中到底含有多少个实数? 也就是问, 实数集合的势到底是多大?
连续统势确定问题是集合论中最古老最基本最自然的一个问题.
对于 (无穷) 集合来讲, 两个集合等势的充分必要条件是它们之间存在一个一一对应或者双射. 众所周知, 自然数可以被用来作为有限集合所含元素个数的多少的一种度量：两个有限集合等势的充分必要条件是它们含有相同个数的元素. 因此,每一个有限集合的势都唯一地由一个自然数来确定. 类似的, 无限集合的势也都唯一地由一个基数 ℵα 来确定 (我们假定选择公理). 最小的无穷基数是 ℵ0, 它代表着全体自然数所组成的集合的势. ℵ0 之后的第一个基数是 ℵ1, 再其后的第一个基数是 ℵ2, 然后是 ℵ3, 等等. 一般来说, 紧接着基数 ℵα 之后的基数是 ℵα+1; 两个基数ℵα 和 ℵβ 的大小之比较由它们的下标 (序数 α 和 β) 的长短来唯一确定. 每一个自然数 n 都是一个比 ℵ0 小的基数. 对于无限基数来说, ℵ0 < ℵ1 < ℵ2 < ℵ3 < · · · , 等等.
Cantor 于 1873 年 12 月证明了由全体实数所组成的集合 (即连续统) 的势至少是 ℵ1. 现在问题出来了：到底哪一个基数 ℵα 是连续统的势呢? 是 ℵ1? 是 ℵ2,ℵ3, 还是别的一个什么 ℵα? Cantor 当年曾经猜想：连续统的势是第一个不可数的基数 ℵ1. 这就是 Cantor 连续统假设. 这也是希尔伯特 (Hilbert)1900 年提出的 23个问题中的第一问题.
戈德尔 (G¨odel)1938 年[3,4] 用内模型 (可构造集) 方法证明了连续统假设和集合论公理系统的和谐性; Cohen 1963 年[1,2] 用外模型 (力迫) 方法证明了连续统假设之否定和集合论公理系统的和谐性. 从而, 连续统假设是一个同集合论公理系统独立的命题. 所以, 要想得到关于连续统势的确定基数值, 集合论公理系统中必须引进新的公理. 现在的问题是：什么样的命题可以作为被广泛接受的自然的不证自明的新的公理并可以用来确定连续统势的基数值?
近年来, 人们利用从大基数或者高阶无穷假设之下得到的一些存在性原理[5]计算出连续统的势为 ℵ2. 近年来 Woodin 发展了一种新的逻辑, Ω- 逻辑, 意图来解决这一问题. Ω- 逻辑中一个中心的问题是 Woodin 提出的 Ω- 猜想, 这一猜想的真假与否同大基数的内模型的存在性休戚相关. 详细内容请见文献 [6].
参 考 文 献
[1] Cohen Paul J. The independence of the Continuum Hypothesis I. Proceedings of NationalAcademy of Sciences, USA, 1963, 50: 1143-1148
[2] Cohen Paul J. The independence of the Continuum Hypothesis II. Proceedings of NationalAcademy of Sciences, USA, 1964, 51: 105-110
[3] G¨odel Kurt F. The consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized ContinuumHypothesis. Proceedings of National Academy of Sciences, USA, 1938, 24: 556-557
[4] G¨odel Kurt F. Consistency-proof of the Generalized Continuum-Hypothesis. Proceedings of National Academy of Sciences, USA, 1939, 25: 220-224
[5] Foreman, Matthew, Menachem Magidor and Saharon Shelah. Martin’s Maximum, saturated ideals and non-regular unltrafilters. Part I, Annals of Mathematics, 1988, 127:1-47
[6] Woodin Hugh W. The Axiom of Determinacy, Forcing Axioms, and the NonstationaryIdeal. Berlin: Walter de Gruyter, 1999
撰稿人：冯 琦
中国科学院数学与系统科学研究院
