几个统计量的概念、定义及区别

1、平均数(arithmetic average)

平均数也叫算术平均数. 一组数据中所有数据之和除以数据的个数，反映数据集中趋势.

$n$ 个数 $a_1$ 、$a_2$ 、$a_3$ 、$\cdots$ 、$a_n$ 的算术平均数的公式为：

$A_n$ $=\dfrac{a_1 +a_2 +a_3 + \cdots +a_n}{n}$

2、加权平均数(weighted average)

$n$ 个数 $a_1$ 、$a_2$ 、$a_3$ 、$\cdots$ 、$a_n$ 的权分别是 $w_1$ 、$w_2$ 、$w_3$ 、$\cdots$ 、$w_n$ ，则这 $n$ 个数的加权平均数为：

$\overline{a}$ $=\dfrac{a_1 w_1 +a_2 w_2 +a_3 w_3 +\cdots + a_n w_n}{w_1 +w_2 +w_3 + \cdots +w_n}$

权的英文是weight，有表示数据重要程度的意思.

在 $n$ 个数 $a_1$ 、$a_2$ 、$a_3$ 、$\cdots$ 、$a_n$ ，若每个数的出现次数分别是 $f_1$ 、$f_2$ 、$f_3$ 、$\cdots$ 、$f_n$ ，则

$\overline{a}$ $=\dfrac{a_1 f_1 +a_2 f_2 +a_3 f_3 +\cdots + a_n f_n}{n}$

也称为这 $n$ 个数的加权平均数.

3、中位数(median)

将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数。如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数.

4、众数(mode)

一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数. 如果一组数据中出现次数最多的数有多个，则这几个数都称为这组数据的众数.

5、方差(variance)

设有 $n$ 个数据 $a_1$ 、$a_2$ 、$a_3$ 、$\cdots$ 、$a_n$ ，各数据与它们的平均数 $p$ 的差的平方分别是 $(a_1 -p)^2$ 、$(a_2 -p)^2$ 、$(a_3 -p)^2$ 、$\cdots$ 、$(a_n -p)^2$ ，则称

$s^2$ $=\dfrac{(a_1 -p)^2 +(a_2 -p)^2 +(a_2 -p)^2+\cdots + (a_n -p)^2}{n}$

为这组数据的方差,

方差用于衡量一组数据波动(离散程度)的大小. 方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小. 换句话说，数据分布越分散，方差就越大；数据分布越集中，方差越小.

6、极差(range)

一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据的极差. 极差反应了数据的波动范围.

7、平均差(average deviation)

设有 $n$ 个数据 $a_1$ 、$a_2$ 、$a_3$ 、$\cdots$ 、$a_n$ ，平均数是 $p$，则

$(AD)$ $=\dfrac{|a_1 -p| +|a_2 -p| +|a_2 -p|+\cdots + |a_n -p|}{n}$

称为这组数据的平均差，其含义是各个值之间的差异程度.

8、标准差(standard deviation)

标准差也称为均方差，是方差的算术平方根，即

$s=\sqrt{s^2}$

由于方差是数据的平方，与检测值本身相差太大，人们难以直观的衡量，所以常用方差开根号换算回来，就得到标准差.