手工开方技巧

手工开方技巧

虽然每个人都有手机, 可以用其中的计算器开平方得到平方根, 但掌握一下手工开平方的技巧还是必要的, 即可以练习运算, 也可以在没有计算器时估算一个大概值.

原理

设 $\sqrt{n}=(a+d)$ , 其中 $a$ 为平方根的整数部分, $d$ 为平方根的小数部分.

有 $(a+d)^2=n$

$a^2+2ad+d^2=n$

由于其中 $d$ 是小数部分, 所以 $d^2 \approx 0$ ,得

$d \approx \dfrac{n-a^2}{2a}$

示例

以 $\sqrt {266}$ 为例子

第一步, 先找一个大概的整数估算 a

因为 $16 \times 16 =256$

$\sqrt {266} \approx 16$

本例中 $a=16$

第二步, 算出差值 $b$

$266-256=10$

本例中 $b=10$

第三步, 计算修正值 $c$

修正值 $=\dfrac{\text{差值}}{2 \times \text{估算值}}$

本例中 $c=\dfrac{10}{2 \times 16}$ $\approx 0.31$

第四步, 修正估算值得到最后结果 $d$

$d=$ 估算值加上修正值

本例中 $d=16+0.31=16.31$

$16.31$ 即为估算结果, $16.31^2=266.02$

实际上 $\sqrt{266}=16.3095$ , 可以看到估算值与实际值很接近.

注意1: 差值 $b$ 不一定是正数, 也可以是负数

例如 $\sqrt{2000}$

因为 $40 \times 50$ $=2000$ , 所以可以用中间值 $45$ 估算

$a=45$

$b=2000-45^2=-25$

$c=-\dfrac{25}{2 \times 45} \approx -0.28$

$d=45-0.28=44.72$

$44.72^2=1999.8$

用计算器算, $\sqrt{2000} \approx 44.721$

注意2: 初始估算值越接近, 最终估算值越好

例如估算 $\sqrt{776}$

由于初始值不太好算, 快速而又接近一点的是 $30^2=900$

取 $a=30$ , 得

$b=776-900=-124$

$c=-\dfrac{124}{60} \approx -2.07$

$d=30-2.07=27.93$

验证

$27.93^=780.08$ , 与 $776$ 差距为 $4$ .

如果初始估值 $a=28$ , 则得到

$d=28-0.14=27.86$

$27.86^2=776.18$ , 与776差距为 $0.18$ .

明显 $27.86$ 比 $27.93$ 更接近真实结果.

可以反复使用这一技巧从粗到精的计算, 例如第一次先从 $30$ 开始, 得到 $27$ 点多, 第二次令 $a$ 等于 $27$ 再次计算.