余弦定理的高维推广

四面体余弦定理

在平面内，余弦定理给出了三角形三条边与其中的一个角之间的关系，如图1，有：

$a^2=b^2+c^2-2bc \cos A$

$b^2=c^2+a^2-2ca \cos B$

$c^2=a^2+b^2-2ab \cos C$

图1

应用余弦定理，可以从已知的两边长和夹角出发，计算三角形的第三边长，或者可以由三边确定三角形的三个内角.

其证明方法，以证明 $a^2=b^2+c^2-2bc \cos A$ 为例，由图1得到

$\begin{cases} a=b \cos C + c \cos B, \qquad \text{(1)} \\ b=c \cos A + c \cos C, \qquad \text{(2)} \\ c=a \cos B + b \cos A. \qquad \text{(3)} \end{cases}$

由 $\text{(1)} \times a$ 　得

$a2=ab \cos C + ac \cos B, \qquad \text{(4)}$

把 $\text{(2)}\text{(3)}$ 代入 $\text{(4)}$ 得

$a^2=$ $b(b-c \cos A)$ $+c(c-b \cos A)$

$=b^2+c^2-2bc \cos A.$

下面，将此定理向高维度推广一下.

把四面体与三角形作类比，使四面体的面对应三角形的边，四面体各面的面积对应三角形各边的边长，而三角形两边的夹角，对应四面体两个面所成的二面角. 如图2.

图2

设二面角

$C-VB-D=\beta_1$

$B-VC-D=\beta_2$

$B-VD-C=\beta_3$

类比平面中的余弦定理的证明方法，可以得到以下猜想：

$S^2_{\triangle BCD}$

$=S^2_{\triangle VBC}+S^2_{\triangle VCD}+S^2_{\triangle VBD}$

$-2S_{\triangle VBD} S_{\triangle VBC} \cos \beta_1$

$-2S_{\triangle VBC} S_{\triangle VCD} \cos \beta_2$

$-2S_{\triangle VCD} S_{\triangle VBD} \cos \beta_3$

其它几个面形式同上.

此即为“四面体的余弦定理”.

那么，再高一个维度呢？

函数的连续膜：最一般的情况，可能可以尝试在Hilbert空间中做余弦定理。