布丰投针试验，通过游戏计算π

布丰投针实验原理

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将于最近几天在小工具里上线一款数学小游戏，用布丰原理逼近π。集众人的力量，随着投掷次数的增多，观察最终接近π的程度。

在张远南先生的著作《偶然中的必然》里，有关于 “布丰投针实验 ”的故事。为了增加阅读的趣味性，我稍微做了一点改动。

游戏

1777年的一天，法国科学家布丰（Buffon）的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。

试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来， 纸上预先画好了一条条等距离的平行线。 接着他又抓出一大把原先准备好的小针。 然后布丰先生宣布： “请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交，以及相交的次数告诉我。

客人们不知布丰先生要玩什么把戏， 只好客随主意，一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把它捡起来再扔。而布丰先生本人则不停地在一旁数着、 记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后，布丰先生高声宣布： “先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针 2212次，其中与平行线相交的有 704次。总次数 2212 与相交次数 704 的比值为 3.142。”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说： “先生们，这就是圆周率 π的近似值！ ”

客人们一片哗然，议论纷纷，大家全都感到莫名其妙： “圆周率 π？这可跟投针半点也不沾边呀！ ”

布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道： “诸位，这里用的是概率的原理， 如果大家有耐心的话， 再增加投针的次数， 还能得到 π的更精确的近似值呢。 ”

那么，“布丰投针实验 ”的依据究竟是什么呢？下面就是书中简单而巧妙的证明。为了便于理解，我把证明过程说得稍微详细一点。

原理

假设那组平行线的间距等于 $d$ 。如果把一个直径为 $d$ 的铁丝圆圈，扔到平行线组上，因为它的周长等于 $\pi d$ ，所以，不论怎样扔，每个圆圈都会与平行线有两个交点。因此，如果扔下的次数为 $n$ ，交点的总数为 $m$ ，必定有 $m=2n$ 。

还用那组平行线，不过这回把圆圈剪开拉直，变成长度为 πd的直铁丝。显然，直铁丝与平行线相交的情形要比圆圈复杂， 最多可能有 4 个交点， 也可能有3 个、2 个、1个交点，也可能不相交，没有交点。不过，由于圆圈和直铁丝的长度相同， 根据概率学的 “机会均等原理 ”，当圆圈和直铁丝投掷的次数较多并且相等时，它们与平行线组的交点总数可望也是一样的。 这就是说， 如果直铁丝扔下的次数为 $n$ ，与平行线组的交点总数 m 也应该大致为 $2n$ 。

现在讨论铁丝长度为 $b$ 的一般情况。 这种铁丝与平行线组的交点总数$m$ ，应当与长度 $b$ 成正比，因而有 $m=kb$ ，式中$k$ 是比例系数。为了求出 $k$ ，回到前面直铁丝的特殊情形，此时$b=\pi d$ ，$m=2n$ 。由于 $m=kb$ ，所以 $kb=2n$ ，而 $b=\pi d$ ，也就是 $k \pi d =2n$ ，于是 $k=\dfrac{2n}{\pi d}$ ，因为$m=kb$ ，所以$m \approx \dfrac{2nb}{\pi d}$ ，从而 $\pi \approx \dfrac{2nb}{md}$ 。这里改用约等号， 是因为 “机会均等原理 ”毕竟只是一种或然推断而已。 在上面的故事中，布丰有意让针长 $b$ 恰好等于平行线间距离 $d$ 的一半，即 $d=2b$ ，代入得到$\pi \approx \dfrac{n}{m}$ 。

因此布丰很快就能算出结果。客人们万万想不到， π竟然会出现在这种与圆毫不相干的场合，然而，投针实验能够得到圆周率的近似值， 却是千真万确的事实。

这，正是数学的奥妙之处。